幂零根

在交换代数中, 交换环的幂零根是其中所有幂零元组成的理想, 它是零理想的根. 幂零根恰为所有素理想的交.

1定义

定义 1.1. 设 $R$ 是交换环. $R$ 的幂零根是由 $R$ 中幂零元构成的理想, 即$$\mathrm{Nil}(R)=\left\{r\in R\mid \text{存在整数 }n>0\text{ 使得 }{r}^n=0\right\}.$$

命题 1.2. $\mathrm{Nil}(R)$ 是 $R$ 中所有素理想的交.

证明. 用 ${\mathrm{Nil}}^{\prime }(R)$ 表示 $R$ 的所有素理想的交.

“$\subseteq$”: 若 $r\in \mathrm{Nil}(R)$, 则存在 $n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, 使得 $r^n=0$. 对于 $R$ 的任意素理想 $\mathfrak{p}$, 由素理想的定义和 $0\in \mathfrak{p}$, $r\in \mathfrak{p}$. 因此 $\mathrm{Nil}(R)\subseteq {\mathrm{Nil}}^{\prime }(R)$.

“$\supseteq$”: 反过来要证 ${\mathrm{Nil}}^{\prime }(R)\subseteq \mathrm{Nil}(R)$. 等价地, 假设 $r\notin \mathrm{Nil}(R)$. 我们证明存在一个素理想不包含 $r$. 令$$\Sigma =\left\{\mathfrak{a}\subseteq R\mid \mathfrak{a}\text{ 是理想, }\forall n\in {\mathbb{Z}}_{>0},r^n\notin \mathfrak{a}\right\}.$$由于 $r$ 不是幂零元, 零理想 $\{0\}\in \Sigma$, 因此 $\Sigma$ 非空, $\Sigma$ 关于包含构成一个偏序集. 由 Zorn 引理, $\Sigma$ 存在极大元 $\mathfrak{p}$. 下面说明 $\mathfrak{p}$ 是素理想.

设 $x,y\notin \mathfrak{p}$, 则 $\mathfrak{p}+(x),\mathfrak{p}+(y)$ 严格包含 $\mathfrak{p}$, 由 $\mathfrak{p}$ 是极大元, 因此 $\mathfrak{p}+(x),\mathfrak{p}+(y)\notin \Sigma$. 从而存在 $m,n\in {\mathbb{Z}}_{>0},r^m\in \mathfrak{p}+(x),r^n\in \mathfrak{p}+(y)$. 那么就有 $r^{m+n}\in \mathfrak{p}+(xy)$, 这说明 $\mathfrak{p}+(xy)\notin \Sigma$. 所以 $xy\notin \mathfrak{p}$. 故 $\mathfrak{p}$ 是素理想.

$\square$

2例子

•	若 $R$ 是既约环, 例如整环, 则 $\mathrm{Nil}(R)=\{0\}$.

•	$R$ 是交换 Artin 环, 则 $R$ 是零维的, 即所有素理想都是极大理想. 此时 $\mathrm{Nil}(R)$ 就是 $R$ 的 Jacobson 根.

3相关概念

术语翻译

幂零根 • 英文 nilradical • 德文 Nilradikal (n) • 法文 nilradical (m)