消解 (同调代数)

在同调代数中, 消解是将一个 Abel 范畴中的对象换为由较好性质的对象构成的链复形的过程, 例如投射消解、内射消解等.

直接把函子作用于某些对象上会导致丢失信息 (例如扭模到无扭模的同态必为 $0$ , 而无法看出模本身的更多结构). 而将对象换为在函子下表现良好的对象构成的链复形, 并令函子作用于相应地链复形上则避免了这一问题. 这也是导出函子的构造与动机.

在模型范畴理论中, 消解被抽象为 (余) 纤维性替换.

1定义

定义 1.1 (投射消解). 设 $A$ 是 Abel 范畴, $A \in Ob A$ . $A$ 的投射消解是复形 $P_{∙} : \dots \to P_{1} \to P_{0}$ 和态射 $P_{∙} \to A$ , 满足以下条件:

•	$P_{∙} \to A \to 0$ 是正合列,
•	$P_{n} (\forall n \geq 0)$ 是 $A$ 中的投射对象.

定义 1.2 (内射消解). 设 $A$ 是 Abel 范畴, $A \in Ob A$ . $A$ 的内射消解是链复形 $I^{∙} : I^{0} \to I^{1} \to \dots$ 和态射 $A \to I^{0}$ , 满足以下条件:

•	$0 \to A \to I^{∙}$ 是正合列,
•	$I^{n} (\forall n \geq 0)$ 是 $A$ 中的内射对象.

在许多情况下投射消解和内射消解不好构造或不存在, 会使用无圈消解来代替之.

定义 1.3 (无圈消解). 设 $A$ 是 Abel 范畴, $F : A \to B$ 是右正合函子, $A \in Ob A$ . $A$ 的无圈消解是复形 $C_{∙} : \dots \to C_{1} \to C_{0}$ 和态射 $C_{∙} \to A$ , 满足以下条件:

•	$C_{∙} \to A \to 0$ 是正合列,
•	$C_{n} (\forall n \geq 0)$ 是 $A$ 中的 $F$ -无圈对象.

类似地对左正合函子也有类似定义. 无圈消解同样可以计算相应函子的导出函子.

注 1.4. 无圈消解在许多场合中出现, 例如 Godement 消解, 细消解等.

命题 2.1. 若 $A$ 有足够多的内射对象, 即任意 $A \in Ob (A)$ , 存在内射对象 $I$ 及单射 $A \to I$ . 那么对任意 $A \in Ob (A)$ , $A$ 存在内射消解.

命题 2.2. 对偶地, 对投射消解或无圈消解, 相应结论也成立.

注 2.3. Grothendieck Abel 范畴有足够多内射对象, 任意环上的模范畴有足够多投射对象和内射对象.

命题 2.4. 假设有内射消解 $A \to I^{∙}$ 和 $B \to J^{∙}$ . 如果有态射 $α : A \to B$ , 则有链复形态射 $φ : (A \to I^{∙}) \to (B \to J^{∙})$ .

命题 2.5. 对偶地, 对投射消解, 相应结论也成立.

•	杠消解
•	Godement 消解

术语翻译

消解 • 英文 resolution • 德文 Auflösung (f) • 法文 résolution (f) • 拉丁文 resolutio (f) • 古希腊文 ἀνάλυσις (f)