导出函子

本文介绍的是同调代数中的导出函子. 关于一般的导出函子, 请参见 “导出函子 (范畴论)”.

导出函子是对不正合的函子引入的概念, 使一些原来在一端不正合的序列可以在那一端延长, 而成为长正合列. 例如左正合函子可能会将正合列变得在右端不正合, 此时在序列右端添加导出函子的作用项可使序列变为长正合列 (命题 2.3).

在导出范畴的观点下, 导出函子对原来的函子进行修改, 以使得它在拟同构的链复形上取值 (作为链复形) 仍然拟同构. 换言之, 导出函子就是原来的函子所诱导的导出范畴之间的函子 (确切地说, 原来的函子的 Kan 扩张).

1定义

通过消解

定义 1.1 (右导出函子). 对 Abel 范畴间的左正合函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 如 $\mathcal{A}$ 含有足够多的内射对象, 对 $\mathcal{A}$ 中对象 $X$, 取 $X$ 的内射消解 $X\to I^{\bullet }$, 定义$$R^{i}F(X)=H^i(F(I^{\bullet })).$$其中 $H^i$ 表示复形 $F(I^{\bullet })$ 的第 $i$ 阶链上同调 (此定义不依赖于 $I^{\bullet }$ 的选取).

定义 1.2 (左导出函子). 对 Abel 范畴间的右正合函子 $G:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 如 $\mathcal{A}$ 含有足够多的投射对象对 $\mathcal{A}$ 中对象 $X$, 取 $X$ 的投射消解 $P_{\bullet }\to X$, 定义$$L_{i}G(X)=H_i(G(P_{\bullet })).$$其中 $H_i$ 表示复形 $G(P_{\bullet })$ 的第 $i$ 阶链下同调 (此定义不依赖于 $P_{\bullet }$ 的选取).

通过导出范畴

对 Abel 范畴 $\mathcal{A}$, 我们记

•	$\mathcal{K}(\mathcal{A})=\mathsf{hCh}(\mathcal{A})$ 为 $\mathcal{A}$ 上的同伦链复形范畴.
•	$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 为 $\mathcal{A}$ 上的导出范畴. 有一个自然的函子 $\mathcal{K}(\mathcal{A})\to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.

定义 1.3 (超导出函子). 设 $F:\mathcal{K}(\mathcal{A})\to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ 是一个函子.

•	$F$ 的右全超导出函子$$\mathbb{R}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\to \mathcal{D}(\mathcal{B})$$是函子 $\mathcal{K}(\mathcal{A})\stackrel{F}{\to }\mathcal{K}(\mathcal{B})\to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ 关于函子 $\mathcal{K}(\mathcal{A})\to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ 的左 Kan 扩张 (如果存在).
•	$F$ 的左全超导出函子$$\mathbb{L}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\to \mathcal{D}(\mathcal{B})$$是上述函子的右 Kan 扩张 (如果存在).
•	$F$ 的右超导出函子 ${\mathbb{R}}^{p}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\to \mathcal{B}$ 定义为$${\mathbb{R}}^{p}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{\mathbb{R}F}{⟶}\mathcal{D}(\mathcal{B})\stackrel{H^p}{⟶}\mathcal{B}.$$
•	$F$ 的左超导出函子 ${\mathbb{L}}_{p}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\to \mathcal{B}$ 定义为$${\mathbb{L}}_{p}F:\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{\mathbb{L}F}{⟶}\mathcal{D}(\mathcal{B})\stackrel{H_p}{⟶}\mathcal{B}.$$

对 Abel 范畴间的加性函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 它诱导的链复形范畴之间的函子 $F:\mathsf{Ch}(\mathcal{A})\to \mathsf{Ch}(\mathcal{B})$ 自动保持链同伦, 因此诱导了函子 $F:\mathcal{K}(\mathcal{A})\to \mathcal{K}(\mathcal{B})$. 从而, $F$ 的各种超导出函子可以像上面一样定义.

以上几个函子被称为超导出函子, 因为它们作用在 $\mathcal{A}$ 的链复形上, 而非对象上.

注 1.4. 在上述定义中, $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ 可以换成左有界链复形的满子范畴 ${\mathcal{K}}^{+}(\mathcal{A})$ 或右有界链复形的满子范畴 ${\mathcal{K}}^{-}(\mathcal{A})$. 此时, 我们说相应的超导出函子在相应的导出范畴 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 或 ${\mathcal{D}}^{-}(\mathcal{A})$ 上存在.

定义 1.5 (导出函子). 对 Abel 范畴间的加性函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, 我们记$$\begin{array}{rl}RF:& \mathcal{A}\stackrel{[0]}{⟶}\mathsf{Ch}(\mathcal{A})⟶\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{\mathbb{R}F}{⟶}\mathcal{D}(\mathcal{B}),\\ LF:& \mathcal{A}\stackrel{[0]}{⟶}\mathsf{Ch}(\mathcal{A})⟶\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{\mathbb{L}F}{⟶}\mathcal{D}(\mathcal{B}),\\ R^{p}F:& \mathcal{A}\stackrel{[0]}{⟶}\mathsf{Ch}(\mathcal{A})⟶\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{{\mathbb{R}}^{p}F}{⟶}\mathcal{B},\\ L_{p}F:& \mathcal{A}\stackrel{[0]}{⟶}\mathsf{Ch}(\mathcal{A})⟶\mathcal{D}(\mathcal{A})\stackrel{{\mathbb{L}}_{p}F}{⟶}\mathcal{B}\end{array}$$(如果这些函子存在), 并分别称为 $F$ 的右全导出函子、左全导出函子、右导出函子、左导出函子, 其中 $[0]:\mathcal{A}\to \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 将对象 $A\in \mathcal{A}$ 映到链复形 $A[0]\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, 也就是在第 $0$ 个位置为 $A$, 其余为 $0$ 的链复形.

命题 1.6. 设 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 是 Abel 范畴间的加性函子.

•	如果 $\mathcal{A}=R\text{-}\mathsf{Mod}$ 是交换环上的模范畴, 那么 $F$ 的各种超导出函子在 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 上存在, 从而 $F$ 的各种导出函子存在.
•	如果 $\mathcal{A}$ 含有足够内射对象, 那么 $F$ 的右全超导出函子在 ${\mathcal{D}}^{+}(\mathcal{A})$ 上存在, 从而 $F$ 的各种右导出函子存在. 如果 $F$ 的上同调维数有限, 那么超导出函子在 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 上存在.
•	如果 $\mathcal{A}$ 含有足够投射对象, 那么 $F$ 的左全超导出函子在 ${\mathcal{D}}^{-}(\mathcal{A})$ 上存在, 从而 $F$ 的各种左导出函子存在. 如果 $F$ 的同调维数有限, 那么超导出函子在 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ 上存在.

2性质

命题 2.1.

•	对左正合函子 $F$, $R^{0}F=F$.
•	对右正合函子 $G$, $L_{0}G=G$.

使用无圈消解也可计算导出函子.

命题 2.2. 对左 (右) 正合函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 以及 $\mathcal{A}$ 中对象 $A$, 如 $A\to C^{\bullet }$ ($C^{\bullet }\to A$) 是无圈消解, 则 $RF(A)$ (相应地, $LF(A)$) 由 $F(C^{\bullet })$ ($F(C_{\bullet })$) 计算.

命题 2.3. 设有短正合列$$0\to X\to Y\to Z\to 0,$$对左正合函子 $F$, 有长正合列$$\begin{array}{rl}0\to & F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to R^{1}F(X)\to R^{1}F(Y)\to R^{1}F(Z)\to \\ \cdots & \to R^{n}F(X)\to R^{n}F(Y)\to R^{n}F(Z)\to R^{n+1}F(X)\to \cdots .\end{array}$$对右正合函子 $G$, 有长正合列$$\begin{array}{rl}& \cdots \to L_{n+1}G(Z)\to L_{n}G(X)\to L_{n}G(Y)\to L_{n}G(Z)\to \\ \cdots \to & L_{1}G(X)\to L_{1}G(Y)\to L_{1}G(Z)\to G(X)\to G(Y)\to G(Z)\to 0.\end{array}$$

3例子

•	$\mathrm{Hom}$ 的导出函子是 $\mathrm{Ext}$.
•	$\otimes$ 的导出函子是 $\mathrm{Tor}$.
•	对层的取全局截面函子 $\Gamma$, 其 $i$ 阶导出函子为 $R^i\Gamma (\mathcal{F})=H^i(\mathcal{F})$, 即层的 $i$ 阶上同调.
•	对群作用的取不变元素的函子 $(-{)}^G$, 其 $i$ 阶导出函子在 $A$ 上作用为 $i$ 阶群上同调 $H^i(G,A)$.

4相关概念

•	导出范畴
•	上同调
•	$\mathrm{Ext}$
•	$\mathrm{Tor}$

术语翻译

导出函子 • 英文 derived functor • 德文 abgeleiteter Funktor • 法文 foncteur dérivé