正合函子

正合函子是一类函子, 其性质类似于 Abel 范畴中保持正合列的加性函子.

1定义

Abel 范畴之间

定义 1.1. 称 Abel 范畴间加性函子 $F:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$

•	左正合,
•	右正合,
•	正合,

分别指对 $\mathcal{A}$ 中任意短正合列 $0\to X\to Y\to Z\to 0$, 都有

•	$0\to FX\to FY\to FZ$,
•	$FX\to FY\to FZ\to 0$,
•	$0\to FX\to FY\to FZ\to 0$,

正合. 显然正合当且仅当既左正合又右正合.

一般范畴之间

上述定义能推广至一般范畴, 仍是十分重要的性质.

定义 1.2. $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 是一般范畴之间的函子.

•	如 $\mathcal{C}$ 有有限极限, 则称 $F$ 左正合, 指其保持有限极限.
•	如 $\mathcal{C}$ 有有限余极限, 则称 $F$ 右正合, 指其保持有限余极限.
•	如 $\mathcal{C}$ 有有限极限、余极限, 则称 $F$ 正合, 指其既左正合又右正合.

不难验证当 $F$ 是 Abel 范畴之间加性函子时, 以上定义和上面等价.

由于左伴随保持所有余极限, 右伴随保持所有极限, 故只要 $\mathcal{C}$ 中有限极限、余极限, 就总有左伴随右正合, 右伴随左正合.

2相关概念

•	加性函子
•	伴随函子
•	导出函子

术语翻译

正合 (形容词) • 英文 exact • 德文 exakt • 法文 exact

左正合 (形容词) • 英文 left exact • 德文 linkseackt • 法文 exact à gauche

右正合 (形容词) • 英文 right exact • 德文 rechtsexakt • 法文 exact à droite