Abel 范畴

Abel 范畴是同调代数中的一类常用的范畴, 包括环上的模范畴 (特别地, Abel 群的范畴), 或更一般地, 模层范畴. 同调代数和链复形的理论常常需要建立在 Abel 范畴上.

1定义

定义 1.1 (Abel 范畴). 称加性范畴 $C$ 为 Abel 范畴, 指它满足公理

•	(AB1) $C$ 的每个态射都具有核与余核.
•	(AB2) $C$ 中的每个单射都是正规态射 (即, 等于某个态射的核); $C$ 中的每个满射都是余正规态射 (即, 等于某个态射的余核).

注 1.2. (AB2) 有以下几种等价表述:

•	$C$ 中的每个单射都是它的余核的核; $C$ 中的每个满射都是它的核的余核.
•	对 $C$ 中任意态射 $f$ , 它诱导的其余像到其像的映射 $coker (ker f) \to ker (coker f)$ 是同构, 从而二者都能看作 $f$ 的像.

有时还要对 Abel 范畴 $C$ 提更强的条件. 下面这些越来越强的公理由 Grothendieck 在其 Tohoku 文中引入.

定义 1.3 (Grothendieck 公理).

•	(AB3) $C$ 余完备.
•	(AB4) $C$ 余完备, 且无穷直和正合.
•	(AB5) $C$ 余完备, 且滤余极限正合.
•	(AB6) $C$ 余完备, 且对任意 $c \in C$ 及其一些子对象 $(c^{j})_{j \in J}$ , 以及对每个 $j \in J$ , $c^{j}$ 的一滤族的子对象 $(c_{i}^{j})_{i \in I_{j}}$ , 下式两边存在且相等: $j \in J ⋂ i \in I_{j} ⋃ c_{i}^{j} = (i_{j}) \in \prod_{j \in J} I_{j} ⋃ j \in J ⋂ c_{i_{j}}^{j} .$

称 $C$ 满足 (AB $n$ *) 意思是 $C^{op}$ 满足 (AB $n$ ).

Grothendieck Abel 范畴指的是满足 (AB5) 且有生成元的 Abel 范畴.

也要对子范畴提条件.

定义 1.4 (子范畴). Abel 范畴 $C$ 的

•	Abel 子范畴指的是其加性子范畴 $D$ , 满足 $D$ 对 $C$ 中取核与余核的操作均封闭. 显然, 这等价于 $D$ 也是 Abel 范畴且含入函子正合.
•	Serre 子范畴指的是其满 Abel 子范畴 $D$ , 满足对取子对象、商对象、扩张封闭, 即对 $C$ 中短正合列 $0 \to X \to Y \to Z \to 0,$ $X, Z \in D ⟺ Y \in D$ . 如果仅有 $X, Z \in D ⟹ Y \in D$ , 则称 $D$ 为弱 Serre 子范畴.

•	Abel 群的范畴 $Ab$ 是 Abel 范畴; 其中有限生成 Abel 群构成的满子范畴也是 Abel 范畴; 其中有限 Abel 群构成的满子范畴也是 Abel 范畴.
•	设 $R$ 是环, 则 $R$ -左模构成的范畴 $R - Mod$ 和 $R$ -右模构成的范畴 $Mod - R$ 都是 Abel 范畴. Freyd–Mitchell 嵌入定理说明, 任何小 Abel 范畴都等价于某个 $R$ -模范畴的满子范畴.
•	如果 $R$ 是左 Noether 环, 则所有有限生成 $R$ -左模构成的范畴是 Abel 范畴.
•	设 $(X, O_{X})$ 是赋环空间, 则所有 $O_{X}$ -左模构成的范畴 $O_{X} - Mod$ 是 Abel 范畴. 特别地, $X$ 上所有 Abel 层构成 Abel 范畴.
•	设 $C$ 是 Abel 范畴, 则 $C$ 上所有链复形构成的范畴 $Ch (C)$ 是 Abel 范畴.
•	设 $X$ 是拓扑空间, 则 $X$ 上的 (实或复) 向量丛不构成 Abel 范畴, 但构成正合范畴.

术语翻译

Abel 范畴 • 英文 abelian category • 德文 abelsche Kategorie (f) • 法文 catégorie abélienne (f)