投影公式

投影公式是层论、代数拓扑、代数几何中关于乘积、拉回、推出的一类公式之统称, 通常形状如下: 对映射 $f:X\to Y$ 以及 $X$ 上对象 $A$, $Y$ 上对象 $B$, $$f_{?}(A\otimes f^{?}B)=f_{?}A\otimes B.$$其最初等的版本为 $X$ 和 $Y$ 是集合, $A$ 和 $B$ 分别是它俩的子集, 此时$$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B.$$

1模层

命题 1.1. 设 $X,Y$ 是环化空间或环化意象, $f:X\to Y$ 是态射, $A$ 是 ${\mathcal{O}}_X$-模层, $B$ 是 ${\mathcal{O}}_Y$-模层. 则有自然映射$$f_{\ast }A\otimes B\to f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B),$$在 $B$ 可对偶时是同构.

证明. 伴随对 $(f^{\ast },f_{\ast })$ 给出自然映射 $f^{\ast }{f}_{\ast }A\to A$. 两边张量积 $f^{\ast }B$, 利用 $f^{\ast }$ 和张量积交换, 再把它伴随过去, 即得自然映射$$f_{\ast }A\otimes B\to f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B).$$当 $B$ 可对偶时, 上式两边分别相当于 $\underline{\mathrm{Hom}}(B^{\vee },f_{\ast }A)$ 与 $f_{\ast }\underline{\mathrm{Hom}}(f^{\ast }{B}^{\vee },A)$, 由伴随性和 $\underline{\mathrm{Hom}}$ 的定义知其同构.

$\square$

命题 1.2. 设 $X,Y$ 是概形或导出概形、谱概形, $f:X\to Y$ 是拟紧拟分离态射, $A\in \mathsf{D}(X)$, $B\in \mathsf{D}(Y)$ 分别是 $X,Y$ 上拟凝聚复形. 则$$f_{\ast }A\otimes B=f_{\ast }(A\otimes f^{\ast }B),$$其中所有函子都为导出.

证明. 同样伴随性给出左边到右边的自然映射. 要证它是同构, 只需局部验证, 故可设 $Y$ 仿射. 此时 $B$ 是 ${\mathcal{O}}_Y$ 一些平移的余极限, 而由 $f$ 拟紧拟分离, $f_{\ast }$ 和余极限交换, 故可设 $B={\mathcal{O}}_Y$. 此时命题显然.

$\square$

2可构造层

本节中设 $f:X\to Y$ 是概形的有限型态射或局部紧 Hausdorff 空间的连续映射, 对应地符号 $\mathsf{D}(X)$ 分别表示 $X$ 上平展挠复形或 Abel 群层复形. 这里重要的是有六函子. 以下所有函子都为导出.

引理 2.1. 对 $A,B\in \mathsf{D}(Y)$, 有自然映射$$f^{\ast }A\otimes f^{!}B\to f^{!}(A\otimes B).$$

证明. 只需作自然映射 $f^{\ast }A\to \underline{\mathrm{Hom}}(f^{!}B,f^{!}(A\otimes B))$, 也就是 $A\to f_{\ast }\underline{\mathrm{Hom}}(f^{!}B,f^{!}(A\otimes B))=\underline{\mathrm{Hom}}(f_{!}{f}^{!}B,A\otimes B)$. 这就简单了, 把自然映射 $A\to \underline{\mathrm{Hom}}(B,A\otimes B)$ 和 $f_{!}{f}^{!}B\to B$ 合起来即可.

$\square$

命题 2.2. 对 $A\in \mathsf{D}(X)$, $B\in \mathsf{D}(Y)$, 有$$f_{!}(A\otimes f^{\ast }B)=f_{!}A\otimes B.$$

证明. 伴随对 $(f_{!},f^{!})$ 给出自然映射 $A\to f^{!}{f}_{!}A$. 两边张量积 $f^{\ast }B$, 用引理 2.1, 再把 $f^{!}$ 伴随到左边, 即得自然映射$$f_{!}(A\otimes f^{\ast }B)\to f_{!}A\otimes B.$$要证它是同构, 由紧合基变换可设 $Y$ 是单点. 此时 $B$ 是张量幺元的若干平移的余极限, 公式中的函子都和余极限交换, 故可设 $B$ 是张量幺元. 此时 $f^{\ast }B$ 也是张量幺元, 命题显然.

$\square$

命题 2.3. 对 $A,B\in \mathsf{D}(Y)$, 有$$\underline{\mathrm{Hom}}(f^{\ast }A,f^{!}B)=f^{!}\underline{\mathrm{Hom}}(A,B).$$特别地, 引理 2.1 中自然映射当 $A$ 可对偶时是同构.

证明. 对 $C\in \mathsf{D}(X)$, 用命题 2.2 计算$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}(C,f^{!}\underline{\mathrm{Hom}}(A,B))& =\mathrm{Hom}(f_{!}C,\underline{\mathrm{Hom}}(A,B))\\ & =\mathrm{Hom}(f_{!}C\otimes A,B)\\ & =\mathrm{Hom}(f_{!}(C\otimes f^{\ast }A),B)\\ & =\mathrm{Hom}(C\otimes f^{\ast }A,f^{!}B)\\ & =\mathrm{Hom}(C,\underline{\mathrm{Hom}}(f^{\ast }A,f^{!}B)),\end{array}$$由 Yoneda 引理即得结论.

$\square$

3表示论

4周环

5$K$ 理论

6相关概念

•	六函子
•	伴随函子

术语翻译

投影公式 • 英文 projection formula • 法文 formule de projection • 拉丁文 formula de projectione