环化空间

在几何学中, 环化空间是 “带有几何结构的空间” 这一概念的一种表述. 例如, 微分几何中, 光滑流形就是拓扑空间附带光滑结构, 这里的光滑结构就是上述 “几何结构” 的例子, 可以用环化空间来描述.

具体地说, 环化空间指拓扑空间 $X$, 带有交换环层 ${\mathcal{O}}_X$, 指定 $X$ 上所有函数构成的环. 这里, “函数” 在不同的几何中具有不同的含义. 在多数情况下, 仅由函数环的信息就足以确定空间的几何性质. 例如, 微分几何中的光滑流形、解析几何中的解析空间、代数几何中的概形等等, 都可以视为环化空间. 在上述三种情况下, “函数” 就分别指光滑函数、解析函数、正则函数.

1定义

定义 1.1 (环化空间). 环化空间指二元组 $(X,{\mathcal{O}}_X)$, 其中

•	$X$ 是拓扑空间.

•	${\mathcal{O}}_X$ 是 $X$ 上交换环层, 称为结构层.

无歧义时, 常将 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 简记作 $X$.

定义 1.2 (环化空间态射). 设 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 与 $(Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 为环化空间. 其间的环化空间态射 $(X,{\mathcal{O}}_X)\to (Y,{\mathcal{O}}_Y)$ 指二元组 $(f,f^{♯})$, 其中

•	$f:X\to Y$ 是连续映射.

•	$f^{♯}:{\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X$ 是 $Y$ 上交换环层的态射. 这也相当于 $X$ 上交换环层的态射 $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_Y\to {\mathcal{O}}_X$, 因为 $f^{-1}$ 和 $f_{\ast }$ 为伴随函子.

无歧义时, 常将 $(f,f^{♯})$ 简记作 $f$.

2例子

•	对拓扑空间 $X$ 以及交换环 $A$, 考虑 $X$ 上常层 $\underline{A}$, 则 $(X,\underline{A})$ 构成环化空间. 这也可以视为指定 $X$ 上的函数为 $X$ 到 $A$ 的局部常值映射.

•	对拓扑空间 $X$ 以及交换拓扑环 $A$, 考虑 $X$ 到 $A$ 的连续函数层 $A_X$, 则 $(X,A_X)$ 构成环化空间. $A$ 为离散时即为上例.

•	光滑流形 $X$ 和其上光滑函数层构成环化空间.

•	解析流形 $X$ 和其上解析函数层构成环化空间.

•	对交换环 $A$, 其素谱 $\mathrm{Spec}A$ 带有环层 ${\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A}$, 环化空间 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$ 就是仿射概形.

3相关概念

•	环化意象
•	局部环化空间
•	概形

术语翻译

环化空间 • 英文 ringed space • 德文 geringter Raum • 法文 espace annelé