环化意象

环化意象指的是意象附带其中环对象, 是环化空间的推广.

1定义

定义 1.1. 环化意象是二元组 $(\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})$, 其中 $\mathcal{X}$ 为意象, ${\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}$ 为其中环对象.

注 1.2. 当意象来自于景 $\mathcal{C}$ 时, 环化意象即是景上的环层, 此时环化意象也称为环化景.

定义 1.3. 环化意象的态射 $(\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})\to (\mathcal{Y},{\mathcal{O}}_{\mathcal{Y}})$ 是二元组 $(f,f^{♯})$, 其中 $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 是意象态射, $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_{\mathcal{Y}}\to {\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}$ 是环同态.

注 1.4. 由于 $f^{-1}$ 和 $f_{\ast }$ 伴随, $f^{♯}$ 也相当于环同态 ${\mathcal{O}}_{\mathcal{Y}}\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}$.

从现在开始, 所有环都指交换环.

注 1.5. 常对定义中的环对象提一些局部性条件. 为此需做些准备. 考虑 $\mathbb{Z}$ 上有限型环的范畴 $\mathsf{fp}$. 设 $\mathcal{A}$ 是意象 $\mathcal{X}$ 中环对象, 则它给出函子 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(-,\mathcal{A}):{\mathsf{fp}}^{\text{op}}\to \mathcal{X}$. 反过来此种函子如保持有限极限, 则不难从中恢复出一个环对象 $\mathcal{A}$, 比如 $\mathcal{A}$ 的底层就由 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(\mathbb{Z}[x],\mathcal{A})$ 给出.

定义 1.6. 意象 $\mathcal{X}$ 中局部环指意象态射 $\mathcal{A}:\mathcal{X}\to {\mathsf{Sh}}_{\text{Zar}}({\mathsf{fp}}^{\text{op}})$, 严格 Hensel 环指意象态射 $\mathcal{A}:\mathcal{X}\to {\mathsf{Sh}}_{\text{eˊt}}({\mathsf{fp}}^{\text{op}})$. 此时 Yoneda 嵌入 ${\mathsf{fp}}^{\text{op}}\to \mathsf{Sh}({\mathsf{fp}}^{\text{op}})$ 复合 ${\mathcal{A}}^{-1}$ 保持有限极限, 从而按注 1.5 对应环对象, 也将其记作 $\mathcal{A}$. 称局部 (严格 Hensel) 环的同态 $f:\mathcal{A}\to \mathcal{B}$ 为局部同态, 指其满足对任意 Zariski (平展) 环同态 $R\to S$, $\mathcal{X}$ 中图表$${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(S,\mathcal{A}){\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(S,\mathcal{B}){\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(R,\mathcal{A}){\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(R,\mathcal{B})ff$$为拉回图表.

注 1.7. 局部环更初等的定义是要求对任意 $X\in \mathcal{X}$, 在 $\mathcal{A}(X)$ 中 $1\ne 0$, 且对任意 $a\in \mathcal{A}(X)$, 存在 $U,V\in \mathcal{X}$ 以及满射 $U\bigsqcup V\to X$, 使得 $a{|}_U\in \mathcal{A}(U{)}^{\times }$, $1-a{|}_V\in \mathcal{A}(V{)}^{\times }$, 但这对严格 Hensel 不灵.

初等定义与上述抽象定义的等价性可这样看出: 如有上述意象态射, 则 ${\mathcal{A}}^{-1}$ 保持余极限, 所以它保持始对象和余积. 又已知 ${\mathcal{A}}^{-1}$ 保持有限极限, 所以它保持有效满射, 于是 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(0,\mathcal{A})=\varnothing$, 且 Zariski 覆盖 $\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}[x{]}_x\times \mathbb{Z}[x{]}_{1-x}$ 对应的映射 ${\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(\mathbb{Z}[x{]}_x,\mathcal{A})\bigsqcup {\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(\mathbb{Z}[x{]}_{1-x},\mathcal{A})\to {\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathcal{X}}(\mathbb{Z}[x],\mathcal{A})$ 为层满射, 此即初等定义. 反过来也是类似的, 因为 Zariski 覆盖由 $\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}[x{]}_x\times \mathbb{Z}[x{]}_{1-x}$ 生成. 这里的一般道理是, ${\mathsf{Sh}}_{\text{Zar}}({\mathsf{fp}}^{\text{op}})$ 是局部环这个一阶理论的分类意象. 类似地, ${\mathsf{Sh}}_{\text{eˊt}}({\mathsf{fp}}^{\text{op}})$ 是严格 Hensel 环理论的分类意象, 只是严格 Hensel 环理论十分繁琐, 而平展意象易于描述.

注 1.8. 依定义, 如 $\mathcal{A}$ 是意象 $\mathcal{Y}$ 中局部 (严格 Hensel) 环, $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ 是意象态射, 则意象态射复合自然给出局部 (严格 Hensel) 环, 记作 $f^{-1}\mathcal{A}$. 不过环对象的 $f_{\ast }$ 通常不保持这些环.

注 1.9. 和经典交换代数中类似, 环同态可以不是局部 (严格 Hensel) 环同态.

定义 1.10. 局部 (严格 Hensel) 环化意象是二元组 $(\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})$, 其中 $\mathcal{X}$ 是意象, ${\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}$ 是其上局部 (严格 Hensel) 环. $(\mathcal{X},{\mathcal{O}}_{\mathcal{X}})$ 到 $(\mathcal{Y},{\mathcal{O}}_{\mathcal{Y}})$ 的态射是二元组 $(f,f^{♯})$, 其中 $f$ 是意象态射, $f^{♯}:f^{-1}{\mathcal{O}}_{\mathcal{Y}}\to {\mathcal{O}}_{\mathcal{X}}$ 是局部同态.

2相关概念

•	谱概形
•	谱 Deligne–Mumford 叠
•	分类意象

术语翻译

环化意象 • 英文 ringed topos • 德文 geringter Topos • 法文 topos annelé