有限生成 Abel 群分类定理

有限生成 Abel 群分类定理说明, 有限生成 Abel 群一定能写成一些循环群的直和.

有限生成 Abel 群分类定理是主理想整环上有限生成模的结构定理对于 $\mathbb{Z}$-模的特例.

1定理与证明

定理 1.1 (有限生成 Abel 群分类定理). 设 $A$ 是有限生成 Abel 群.

•	(准素分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq {\mathbb{Z}}^f\oplus \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z},$$其中 $f\ge 0$ 是整数, 每个 $q_i$ 都是素数幂, 这里的唯一性不计次序.
•	(不变因子分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq {\mathbb{Z}}^f\oplus \underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z},$$其中 $f\ge 0$ 是整数, $d_i>0$, 并且对每个 $i$ 有 $d_i\mid d_{i+1}$. 这些 $d_i$ 称为 $A$ 的不变因子.

证明. 这是主理想整环上有限生成模的结构定理对 $\mathbb{Z}$-模的特例.

$\square$

我们立即得到如下推论.

推论 1.2 (有限 Abel 群分类定理). 设 $A$ 是有限 Abel 群.

•	(准素分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq \underset{i=1}{\overset{n}{⨁}}\mathbb{Z}/q_i\mathbb{Z},$$其中每个 $q_i$ 都是素数幂, 这里的唯一性不计次序.
•	(不变因子分解) $A$ 能唯一地写成$$A\simeq \underset{i=1}{\overset{r}{⨁}}\mathbb{Z}/d_i\mathbb{Z},$$其中 $d_i>0$, 并且对每个 $i$ 有 $d_i\mid d_{i+1}$.