循环群

循环群是由一个元素生成的群. 循环群分为以下两种 (定理 2.1):

•	无限循环群 $\mathbb{Z}$.
•	有限循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 其中 $n$ 是正整数. 该群有时也记为 ${\mathbb{Z}}_n$, 前提是不与 $p$ 进整数的记号混淆.

1定义

定义 1.1. 称群 $G$ 为循环群, 如果存在 $g\in G$, 使得$$G=\{g^n\mid n\in \mathbb{Z}\}.$$

2性质

分类

定理 2.1. 循环群一定同构于下列之一:

•	无限循环群 $\mathbb{Z}$.
•	有限循环群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 其中 $n$ 是正整数.

子群

(…)

3相关概念

•	循环模
•	有限生成 Abel 群分类定理

术语翻译

循环群 • 英文 cyclic group • 德文 zyklische Gruppe (f) • 法文 groupe cyclique (m) • 拉丁文 caterva cyclica (f) • 古希腊文 κυκλικὴ ὁμάς (f)