概形论像

顾名思义, 概形论像就是概形论中像集的类比, 指概形态射穿过的最小闭子概形.

1定义

定义 1.1. 设 $f:X\to Y$ 为概形态射. $f$ 的概形论像指的是 $f$ 穿过的最小闭子概形. 由于闭子概形有任意交, 此为良定义. 如 $f$ 的概形论像是 $Y$, 则称 $f$ 为概形论稠.

2性质

命题 2.1. 概形论像是传递的. 具体地说, 设 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$ 是概形态射, $Y^{\prime }$ 是 $f$ 的概形论像, $Z^{\prime }$ 是 $g$ 限制在 $Y^{\prime }$ 上的概形论像, 那么 $gf$ 的概形论像是 $Z^{\prime }$.

命题 2.2. 如果 $f:X\to Y$ 是拟紧态射, 那么

1.	$\mathcal{I}=\ker ({\mathcal{O}}_Y\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X)$ 是拟凝聚的. 因此, 概形论像 $Z$ 是 $\mathcal{I}$ 决定的闭子概形.
2.	对于开子集 $U\subseteq Y$, $f$ 限制在 $f^{-1}(U)$ 的概形论像就是 $Z\cap U$.
3.	$Z$ 的底空间就是集合论像 $f(X)$ 的闭包. $Z$ 中的点都是 $X$ 中的点的特殊化.

命题 2.3. 如果 $f:X\to Y$ 是概形态射, $Z$ 是其概形论像, $X$ 是既约概形, 那么

1.	对于开子集 $U\subseteq Y$, $f$ 限制在 $f^{-1}(U)$ 的概形论像就是 $Z\cap U$.
2.	$Z$ 就是集合论像 $f(X)$ 的闭包带既约闭子概形结构.

开子概形的稠密性可用结合点刻画.

命题 2.4. 设 $X$ 是 Noether 概形, $U$ 是其开子概形. 则 $U$ 在 $X$ 中概形论稠, 当且仅当 $U$ 包含 $X$ 的所有结合点.

概形论稠基本就是范畴满, 只是需要分离条件.

定理 2.5. $f:X\to S$ 为概形论稠, 当且仅当对任意分离 $S$-概形 $Y$ 以及 $S$-态射 $g,h:S\to Y$, 有 $gf=hf$ 推出 $g=h$.

推论 2.6. 固定基概形 $S$. 则分离 $S$-概形范畴的满态射正是概形论稠态射.

3例子

例 3.1. 仿射概形间态射的概形论像就是环同态的核所决定闭子概形. 具体地说, 如环同态 $A\to B$ 核为 $I$, 则对应概形态射 $\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$ 的概形论像就是 $\mathrm{Spec}A/I$.

例 3.2. 命题 2.2 与 2.3 的条件不可或缺. 任取域 $k$, 考虑 $X={\coprod }_{n=1}^{\infty }\mathrm{Spec}k[x]/x^n$ 及其到 ${\mathbb{A}}_k^1$ 的映射, 在第 $n$ 个余积分量上为自然环满射 $k[x]\to k[x]/x^n$ 所诱导. 设该映射的概形论像为 $\mathrm{Spec}k[x]/I$, 则依定义, 对任意 $n\in \mathbb{N}$, $I\subseteq (x^n)$, 由此可见 $I=0$, 其概形论像是整个 ${\mathbb{A}}_k^1$. 然而其集合论像显然只有一个闭点 $0\in {\mathbb{A}}_k^1$, 即理想 $(x)$. 此时模层 $\ker ({\mathcal{O}}_{{\mathbb{A}}_k^1}\to {\mathcal{O}}_X)$ 也并不拟凝聚, 因其在 $0$ 处的茎为 $0$, 而在其它各处的茎都为全部, 不可能对应 $k[x]$-模. 最后, 对开子集 $U={\mathbb{A}}_k^1\setminus 0$, 有 $U{\times }_{{\mathbb{A}}_k^1}X=\varnothing$, 故此时限制在开集原像与取概形论像这两个操作也不交换.

例 3.3. 定理 2.5 的分离条件亦不可或缺. 任取域 $k$, 考虑 $S={\mathbb{A}}_k^1=\mathrm{Spec}k[x]$, $X={\mathbb{A}}_k^1\setminus 0=\mathrm{Spec}k[x,x^{-1}]$, $f$ 为自然开浸入. 取 $Y$ 为双原点直线, 即两份 $S$ 沿开子概形 $X$ 粘起来, $g,h$ 分别为 $S$ 含入到这两份中. 显然 $f$ 为概形论稠, $gf=hf$, 但 $g\ne h$.

4相关概念

•	闭浸入
•	结合点
•	拟凝聚层
•	分离态射

术语翻译

概形论像 • 英文 scheme-theoretic image • 德文 schematheoretisches Bild • 法文 image schématique

概形论稠 • 英文 scheme-theoretically dense