拟紧态射

拟紧态射是代数几何中的概念, 指紧集的原像是紧集的概形态射.

值得注意的是, 由于 Zariski 拓扑很粗糙, 拟紧只是个较弱的有限性条件 (它等价于仿射开集的原像是有限个仿射开集之并). 微分几何中紧性概念的正确类比是紧合态射.

1定义

定义 1.1 (拟紧态射). 称概形态射 $f:X\to Y$ 拟紧, 是指存在 $Y$ 的仿射开覆盖 $Y={\bigcup }_i{V}_i$, 使得诸 $f^{-1}(V_i)$ 的底拓扑空间紧.

注 1.2. 这里 “拟紧” 一词是历史遗留, 这个词曾经表示现代意义的 “紧”. 而当时 “紧” 则相当于现在的 “紧 Hausdorff”.

拟紧概形则和通常一样, 是拟紧态射的 “绝对版本”.

定义 1.3 (拟紧概形). 称概形 $X$ 拟紧, 是指 $X$ 在 $\mathbb{Z}$ 上拟紧, 即典范态射 $X\to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ 拟紧.

2性质

命题 2.1. 态射 $f:X\to Y$ 拟紧当且仅当对 $Y$ 中任意仿射开集 $V$, $f^{-1}(V)$ 紧, 这也等价于 $f^{-1}(V)$ 是有限个仿射开集之并.

特别地, 概形 $X$ 拟紧当且仅当 $X$ 的底空间紧.

命题 2.2.

•	拟紧态射的复合仍然拟紧.
•	拟紧态射的基变换也拟紧.

命题 2.3 (平坦下降). 对概形态射 $f:X\to Y$ 与拟紧、忠实平坦态射 $Y^{\prime }\to Y$, 如基变换 $X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$ 拟紧, 则 $f$ 拟紧.

命题 2.4. 若态射 $f:X\to Y$ 拟紧, 则 $f(X)$ 在 $Y$ 中闭当且仅当 $f(X)$ 对特殊化封闭.

证明. 对任意概形闭集都在特殊化下封闭. 现只需证另一边, 假设 $f(X)$ 在特殊化下封闭. 闭性对 $Y$ 是局部性质, 可不妨设其仿射, 记为 $\mathrm{Spec}(B)$. 此时 $X$ 为有限个仿射开集之并, 记为 $\mathrm{Spec}(A_i)$. 令 $A=\prod A_i$, 它的谱是这些开集的无交并 (这里用到有限性), 则有满射 $\mathrm{Spec}A\to X$. 用 $A$ 替换 $X$, 可不妨设 $X$ 也仿射.

由于 $f(X)$ 在特殊化下封闭, 其补集在一般化下封闭, 因此对 $f(X)$ 的补集中任意一点 $x$, $\mathrm{Spec}(B_x)\cap f(X)=\varnothing$. 因此 $f^{-1}(B_x)=\mathrm{Spec}(B_x{\otimes }_{B}A)$ 为空. 因此 $B_x\otimes A=0$. 由于 $B_x$ 为滤余极限 ${\lim }_{f\notin x}{B}_f$ 且张量积与滤余极限交换, 必然存在某个 $f$ 使得 $B_f{\otimes }_{B}A$ 为 $0$. 即包含 $x$ 的主开集 $D(f)$ 与 $f(X)$ 不交. 由 $x$ 的任意性, $f(X)$ 为闭集.

$\square$

命题 2.5. 拟紧概形至少有一个闭点.

术语翻译

拟紧态射 • 英文 quasi-compact morphism • 法文 morphisme quasi-compact • 拉丁文 morphismus quasi-compactus