拟凝聚层

在代数几何和复几何中, 拟凝聚层是凝聚层的推广, 也是向量丛的进一步推广. 大致说, 凝聚层允许不同点处的纤维是不同维数的向量空间, 而拟凝聚层则允许这些向量空间是无穷维的.

在代数几何中, 概形上的拟凝聚层有十分简洁的代数描述: 它在仿射开集 $Spec A$ 上由 $A$ -模给出.

1定义

拟凝聚层可以对一般的环化空间或环化意象定义. 在代数几何中, 我们主要考虑概形; 在复几何中, 主要考虑复流形或复解析空间.

定义 1.1 (拟凝聚层). 设 $(X, O_{X})$ 是环化空间或环化意象, $F$ 是 $O_{X}$ -模. 称 $F$ 为拟凝聚层, 如果以下条件成立:

•	存在 $X$ 的开覆盖 $U$ , 使得对每个 $U \in U$ 存在集合 $I, J$ 与 $O_{U}$ -模的正合列 $O_{U}^{\oplus I} \to O_{U}^{\oplus J} \to F ∣_{U} \to 0,$ 其中 $O_{U} := O_{X} ∣_{U}$ .

在概形上, 拟凝聚层有一种简洁的代数描述. 我们首先定义仿射概形上的拟凝聚层.

定义 1.2 ( $M$ ). 设 $A$ 是交换环, $M$ 是 $A$ -模. 记 $X = Spec A$ . 定义 $O_{X}$ -模 $M$ 如下:

•	对 $f \in A$ , 定义 $M (D (f)) = M_{f}$ 为 $M$ 的局部化. 这给出了 $X$ 的一组拓扑基上的预层.

•	可以验证该预层满足层公理, 故给出了 $X$ 上的层 $M$ .

对概形上其它种类的拓扑也有类似的定义.

概形上的拟凝聚层可以定义为局部看起来像是 $M$ 的模层.

定义 1.3 (拟凝聚层). 设 $X$ 是概形, $F$ 是 $O_{X}$ -模. 称 $F$ 为拟凝聚层, 如果以下条件成立:

•	对任意 $x \in X$ , 存在含 $x$ 的仿射开集 $Spec A ≃ U \subset X$ , 及 $A$ -模 $M$ , 使得 $F ∣_{U} ≃ M$ .

下面命题 2.4 说明, 拟凝聚层在任意仿射开集上的限制都形如 $M$ .

拟凝聚层构成 Abel 范畴, 且有较好的函子性.

命题 2.1 (拟凝聚层范畴). 在 Abel 层范畴 $Ab (X)$ 中, 拟凝聚层对取核、余核、扩张封闭. 由此拟凝聚层构成 Abel 范畴, 称为拟凝聚层范畴, 记作 $QCoh (X)$ .

命题 2.2 (拉回层). 设有环化空间 (或环化意象) 间的态射 $f : (X, O_{X}) \to (Y, O_{Y})$ , 则拟凝聚层 $F \in QCoh (Y)$ 沿 $f$ 的拉回层 $f^{*} F$ 也是拟凝聚层.

命题 2.3 (前推层). 设有概形间的拟紧拟分离态射 $f : X \to Y$ , 则拟凝聚层 $F \in QCoh (X)$ 沿 $f$ 的前推层 $f_{*} F$ 也是拟凝聚层. 事实上它导出前推层的每一阶上同调 $R^{i} f_{*} F$ 都是拟凝聚层.

仿射概形上的拟凝聚层有如下性质, 它们是一般的拟凝聚层 Čech 上同调计算的理论基础, 是复几何中 Henri Cartan 的定理 A 和定理 B 在代数几何中的类比.

命题 2.4. 对平坦拓扑和 Zariski 拓扑之间任何一种拓扑, 仿射概形上的拟凝聚层必形如 1.2 中 $M$ .

命题 2.5 (Serre). 对平坦拓扑和 Zariski 拓扑之间任何一种拓扑, 仿射概形上的拟凝聚层 $M$ 的层上同调为 $H^{i} (M) = {M 0 i = 0 i > 0.$

•	所有凝聚层都是拟凝聚层.

术语翻译

拟凝聚层 • 英文 quasi-coherent sheaf • 德文 quasikohärente Garbe • 法文 faisceau quasi-cohérent • 拉丁文 fascis quasi-cohaerens