仿射概形

在代数几何中, 仿射概形是一类最简单的概形, 指形如交换环的素谱的概形. 正如在微分几何中, 流形由 Euclid 空间粘接出来, 在代数几何中, 概形则由仿射概形粘接出来.

仿射概形的一类典型的例子是仿射簇. 对域 $k$ 及自然数 $n$, 向量空间 $k^n$ 在代数几何中称为仿射空间, 记为 ${\mathbb{A}}_k^n$. 在该空间中, 由多项式方程$$f(x_1,\dots ,x_n)=0$$刻画出的集合, 记为 $V_f\subset {\mathbb{A}}_k^n$, 就是仿射簇. 这里 $f\in k[x_1,\dots ,x_n]$.

在基于概形的代数几何中, 在代数–几何对偶的观点下, 仿射空间定义为多项式环的素谱$${\mathbb{A}}_k^n=\mathrm{Spec}k[x_1,\dots ,x_n].$$具体而言, 多项式环 $k[x_1,\dots ,x_n]$ 是空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 上所有函数构成的环, 而代数–几何对偶的观点表明, 可以通过该多项式环还原出原来的空间. 在此观点下, 上述集合 $V_f$ 上的函数环应该是商环$$k[x_1,\dots ,x_n]/(f),$$这里 $(f)$ 表示 $f$ 生成的主理想. 这是因为, $V_f$ 上的函数也应该是关于 $x_1,\dots ,x_n$ 的多项式, 但因为函数 $f$ 在 $V_f$ 上为零, 所以 $f$ 和 $0$ 视为 $V_f$ 上的同一个函数. 事实上, 在代数几何中, 我们就定义$$V_f=\mathrm{Spec}(k[x_1,\dots ,x_n]/(f)).$$

更一般地, 也可以考虑多个多项式所刻画的集合. 例如, 对 ${\mathbb{A}}_k^n$ 上的多项式函数 $f_1,\dots ,f_m$, 其公共零点集定义为$$V_{f_1,\dots ,f_m}=\mathrm{Spec}(k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m)),$$它也是仿射簇, 从而也是仿射概形.

严格来说, 仿射概形就定义成形如 $\mathrm{Spec}A$ 的概形, 其中 $A$ 是某个交换环. 仿射概形是 “多项式的零点集” 之推广, 而一般的概形则由仿射概形沿着开集拼接得到.

对仿射概形而言, 代数–几何对偶可以表述为范畴等价$$\mathrm{Spec}:{\mathsf{CRing}}^{\mathrm{op}}\simeq \mathsf{Aff},$$其中 $\mathsf{CRing}$ 是交换环范畴, $\mathsf{Aff}$ 是仿射概形范畴, $\mathrm{Spec}$ 表示素谱, 其逆函子将仿射概形 $X$ 映到其函数环 ${\mathcal{O}}_X(X)$.

1定义

定义 1.1 (仿射概形). 称局部环化空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 为仿射概形, 若存在交换环 $A$, 使得 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 同构于 $A$ 的素谱 $(\mathrm{Spec}A,{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}A})$.

2例子

3性质

4相关概念

术语翻译

仿射概形 • 英文 affine scheme • 德文 affines Schema (n) • 法文 schéma affine (m) • 日文 アフィンスキーム • 韩文 아핀 스킴