模性定理

模性定理 (又称 Taniyama–Shimura 猜想 (谷山–志村猜想), Taniyama–Weil 猜想, 或 Taniyama–Shimura–Weil 猜想) 描述了椭圆曲线和模曲线之间的关系. 大致上是说:

“所有 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都是模的.”

Wiles 通过证明半稳定的椭圆曲线的模性定理而完成了 Fermat 大定理的证明. 而 Breuil, Conrad, Diamond 和 Taylor 在 2001 年证明了完整的模性定理.

模性定理可以被归结为 Langlands 纲领的一个特例.

1历史

Taniyama 在 1955 年发现了模性定理的粗略版本, 并与其同事 Shimura 在 1957 年严格叙述了模性定理. Weil 在 1967 年重新发现了模性定理, 并解释它 “理应是对的”.

在 1980 年代, Frey 通过尝试证明 “Fermat 大定理的非平凡解能产生非模的椭圆曲线” 来说明模性定理能够推出 Fermat 大定理. 这个证明最终由 Serre 和 Ribet 完成, 然后掀起了研究模性定理的浪潮: 因为它能解决 Fermat 大定理.

但是在当时, 大部分数论学家认为模性定理极难, 或几乎不可能证明. Coates 和 Ribet 都发表过类似的观点.

Wiles 于 1993 年发表了对半稳定的椭圆曲线的模性定理的证明初稿, 并说明了半稳定的情况足够推出 Fermat 大定理. 不久后审稿人之一 Katz 发现了其中使用 Euler 系方法的一个漏洞. 经过努力, 和他的学生 Taylor 的帮助, Wiles 最终于 1994 年修复了这个漏洞. 从而 Wiles 证明了 Fermat 大定理, 引起了极大的轰动.

对于非半稳定的情况, Breuil, Conrad, Diamond 和 Taylor 在 2001 年给出了一篇近 100 页的论文来完成模性定理的完整证明.

2陈述

模性定理的陈述有很多等价刻画, 在这里选取四个等价命题陈述:

定理 2.1 (模性定理, $X_{\mathbb{Q}}$-版本). 假设有 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$. 那么存在正整数 $N$ 以及一个满态射 (在 $\mathbb{Q}$-代数簇的意义下) $$X_0(N)⟶E.$$

定理 2.2 (模性定理, $A_{\mathbb{Q}}$-版本). 假设有 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$. 那么存在正整数 $N$ 和权为 2 的新形式 $f\in {\mathcal{S}}_2({\Gamma }_0(N))$, 以及一个满同态$$A_f^{\prime }⟶E.$$其中 $A_f^{\prime }$ 是 $f$ 关联的 Abel 簇.

定理 2.3 (模性定理, $L$-版本). 假设有 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$, 导子为 $N$. 那么存在权为 2 的新形式 $f\in {\mathcal{S}}_2({\Gamma }_0(N))$, $$L(s,f)=L(s,E).$$左边是 $f$ 的 Hecke $L$-函数, 右边是 Hasse–Weil $L$-函数.

定理 2.4 (模性定理, $R$-版本). 假设有 $\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线 $E$. 那么存在某个素数 $\ell$, 使得相应的 Galois 表示 ${\rho }_{E,\ell }$ 是模的.

定理 2.4 也是 Wiles, 以及随后的 Breuil, Conrad, Diamond 和 Taylor 证明的模性定理版本.

3相关论题

•	Fermat 大定理
•	Langlands 纲领

术语翻译

模性定理 • 英文 modularity theorem • 德文 Modularitätssatz (m) • 法文 théorème de modularité (m)