模形式

模形式是定义在上半复平面 (以及 “尖点”) 上的全纯函数, 它在模群的作用下满足某类函数方程. 模函数则是相应的亚纯函数. 虽然模形式以复分析的方式陈述, 但它和数论、代数拓扑、最密堆积和弦论等许多数学分支都有联系.

从几何的观点来看, (带有附加结构的) 椭圆曲线的模空间是上半平面的商, 即模曲线, 模形式是模曲线某些线丛的截面, 因此研究这些模形式就相当于研究相应的模空间.

模形式是自守形式的特例, 相当于群 ${\mathrm{GL}}_2$ 对应的自守形式.

1历史

模形式理论的发展大致可分成三期:

19 世纪初: 探讨与椭圆函数相关的方面;

19 世纪末: 此时自守形式的概念诞生, 由 Klein 等人发展;

1925 至 1960 年: Hecke 等人发现了模形式与数论的联系.

2定义

我们在此文中均采取以下约定.

定义 2.1 (约定). 令 $\mathcal{H}$ 为上半平面$$\mathcal{H}=\{z\in \mathbb{C}\mid \Re (z)>0\},$$群 ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ (称为模群) 通过$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\tau =\frac{a\tau +b}{c\tau +d}$$作用于其上, $\Gamma$ 是 ${\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 的有限指数子群. 则存在 $N\in \mathbb{N}$, 使得$$\left(\begin{array}{cc}1& N\\ 0& 1\end{array}\right)\in \Gamma .$$

定义 2.2 (模形式). 对给定的 $\Gamma$, 给定的自然数 $k$, $\mathcal{H}$ 上的全纯函数 $f$ 称为权为 $k$ 的模形式, 如果它满足

•	函数方程: 对任意 $\gamma \in \Gamma$, $\tau \in \mathcal{H}$, $$f(\gamma \tau )=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau ).$$记$$(f[\gamma {]}_k)(\tau )=(c\tau +d{)}^{-k}f(\gamma \tau )$$则上述条件等价于 $f[\gamma {]}_k=f$.
•	在模曲线 $\mathcal{H}/\Gamma$ 的每个尖点全纯: 首先定义在无穷点全纯, 注意到上述条件推出 $f(\tau +N)=f(\tau )$, 通过 $q=\exp \frac{2\pi \mathrm{i}\tau }{N}$, 它定义了去心圆盘$${\mathbb{D}}^{\ast }=\{z\mid 0<|z|<1\}$$上的函数. 称它在无穷点全纯就是说相应函数能全纯延拓至 $q=0$. 此后, 称它在每个尖点全纯就是说对任意 $\alpha \in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$, $f[\alpha {]}_k$ 在无穷点全纯 (注意到, $f[\alpha {]}_k$ 满足 $\gamma \in {\alpha }^{-1}\Gamma \alpha$ 时的函数方程, 因此可以谈论起在无穷点全纯).

其中$$\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$$此时所有模形式的构成的集合记为 ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )$.

注 2.3. 如果还要求相应函数在每个尖点为 $0$, 则称它为尖点形式. 所有尖点形式的集合记为 ${\mathcal{S}}_k(\Gamma )$.

类似地, 模函数是相应的亚纯函数.

定义 2.4 (模函数). 对给定的 $\Gamma$, 给定的自然数 $k$, $\mathcal{H}$ 上的亚纯函数 $f$ 称为权为 $k$ 的模函数, 如果它满足

•	函数方程: 对任意 $\gamma \in \Gamma$, $$f(\gamma \tau )=(c\tau +d{)}^{k}f(\tau ).$$
•	在模曲线 $\mathcal{H}/\Gamma$ 的每个尖点亚纯: 首先定义在无穷点亚纯, 注意到上述条件推出 $f(\tau +N)=f(\tau )$, 通过 $q=\exp \frac{2\pi \mathrm{i}\tau }{N}$, 它定义了去心圆盘$${\mathbb{D}}^{\ast }=\{z\mid 0<|z|<1\}$$上的函数. 说它在无穷点亚纯就是说相应函数在 $q=0$ 处亚纯. 此后, 称它在每个尖点亚纯就是说对任意 $\alpha \in {\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$, $f[\alpha {]}_k$ 在无穷点亚纯 (注意到, $f[\alpha {]}_k$ 满足 $\gamma \in {\alpha }^{-1}\Gamma \alpha$ 时的函数方程, 因此可以谈论起在无穷点亚纯).

其中$$\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right).$$不加定语的模函数指权为 $0$ 的模函数.

注 2.5. 可以看出, 对 $\Gamma ={\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$, 只要它在无穷点全纯, 它就在每个尖点全纯. 把这里的 “全纯” 改为 “亚纯”, 结论同样成立.

3例子

以下列出了一些经典的模形式, 这些构造在相关领域中有重要应用.

例 3.1 (Eisenstein 级数). 对 $k\ge 4$, Eisenstein 级数$$E_k(\tau )=\frac{1}{2}\sum _{\begin{array}{c}(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}\\ \gcd (m,n)=1\end{array}}\frac{1}{(m\tau +n{)}^k}$$绝对收敛, 它对任意 $\Gamma$ 是 $k$ 阶模形式.

可以证明模形式环 $\mathcal{M}({\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z}))$ 同构于 $\mathbb{C}[E_4,E_6]$.

注 3.2. 事实上 Eisenstein 级数还有另一定义: $$G_k(\tau )=\sum _{(m,n)\in {\mathbb{Z}}^2\setminus \{(0,0)\}}\frac{1}{(m\tau +n{)}^k}$$两者满足关系 $G_k(\tau )=2\zeta (k)E_k(\tau )$. 当 $k\ge 4$ 为偶数时 $G_k(i\infty )=2\zeta (k)$, 所以 $E_k(\tau )$ 也被称为归一化 Eisenstein 级数.

例 3.3 ($j$-不变量与模判别式). $\mathbf{j}$-不变量是一个 (权为 0 的) 模函数. 它定义为$$j(z)=\frac{E_4(z{)}^3}{\Delta (z)}=q^{-1}+744+196884q+21493760q^2+\dots$$其中 $q=e^{2\pi iz}$, $\Delta (z)$ 是模判别式$$\Delta (z)=\frac{1}{1728}(E_4(z{)}^3-E_6(z{)}^2).$$$j$ 在上半平面上全纯, 在无穷点有一个单极点. 所有模函数组成的域同构于 $\mathbb{C}(j)$. 从几何上来说, $j$ 不变量分类了 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线.

此外, 模判别式 $\Delta$ 可以由一个无穷乘积表示: $$\Delta (z)=q\prod _{n=1}^{\infty }(1-q^n{)}^{24}.$$定义 $\tau$ 函数 $\tau (n)$ 为展开后各项系数: $$\Delta (z)=\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n.$$$\tau$ 函数满足很多数论性质. Ramanujan 在 1916 年猜想其满足如下三条性质:

•	对于 $\gcd (m,n)=1$, $\tau (m)\tau (n)=\tau (mn)$;
•	对于素数 $p$, $\tau (p^{r+1})=\tau (p^r)\tau (p)-p^{11}\tau (p^{r-1})$;
•	对于素数 $p$, $|\tau (p)|\le 2p^{11/2}$.

前两条可以通过 Hecke 代数的作用证明 (见 Hecke 代数作用) , 第三条是 Weil 猜想的特例, 被 Deligne 在 1974 年证明.

(...)

4性质

基本性质

由定义与 Eisenstein 级数的性质可以看出:

命题 4.1 (模形式环). 对给定的 $\Gamma$,

•	${\mathcal{M}}_k(\Gamma )$ 构成 $\mathbb{C}$-向量空间.
•	${\mathcal{M}}_k(\Gamma ){\mathcal{M}}_l(\Gamma )\subset {\mathcal{M}}_{k+l}(\Gamma )$, 即$$\mathcal{M}(\Gamma )=\underset{k=0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathcal{M}}_k(\Gamma )$$构成分次环, 称为模形式环.
•	所有尖点形式构成模形式环的理想.
•	当 $k\ge 4$ 时, ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )={\mathcal{S}}_k(\Gamma )\oplus \mathbb{C}.E_k$

零点与极点

某个特定阶的模函数的零点和极点个数满足一定关系, 具体地说

定理 4.2. 对任意权为 $k$ 的模函数 $f$, $$v_{\infty }(f)+\frac{1}{3}{v}_{\rho }(f)+\frac{1}{2}{v}_{\mathrm{i}}(f)+\sum _{p\in \mathcal{H}/\Gamma \setminus \{\rho ,i\}}{v}_p(f)=\frac{k}{12}.$$其中 $v$ 表示赋值, 即零点重数或负极点重数. $\rho =e^{2\pi i/3}$.

证明.

证明.

$\square$

维数

定理 4.3. 对于所有 $k\in \mathbb{Z}$, 均有 ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )\cong S_{k+12}(\Gamma )$.

证明. 注意到模判别式在尖点处具有一阶零点, 故 $f\in {\mathcal{M}}_k(\Gamma )\Rightarrow \Delta \cdot f\in {\mathcal{S}}_{k+12}(\Gamma )$.

反之由于尖点形式在尖点处有零点且 $\Delta$ 在尖点外无零点所以 $g\in {\mathcal{S}}_{k+12}(\Gamma )\Rightarrow g/\Delta \in {\mathcal{M}}_k(\Gamma )$.

$\square$

定理 4.3 表明只要能分析出 ${\mathcal{M}}_k(\Gamma ),{\mathcal{S}}_k(\Gamma )$ 在 $k\le 12$ 时的维数便能研究 $k>12$ 时的维数了.

定理 4.4. 当 $k<0$, $k=2$, 或 $k$ 为奇数时, ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )=\{0\}$. 当 $0\le k\le 12$ 时 ${\mathcal{S}}_k(\Gamma )=\{0\}$.

证明.

证明. 对于所有 $f\in {\mathcal{M}}_k(\Gamma )$, 由于 $f$ 在 $\mathcal{H}\cup \{\infty \}$ 中全纯, 所以定理 4.2 中的所有的 $v_p(f)$ 均非负. 故 $k<0$ 时 ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )=\{0\}$.

当 $0\le k\le 12$ 时根据定理 4.2 可知 $v_{\infty }(f)=0$ 且当 $p\not\equiv i,\rho (\mathrm{mod}\Gamma )$ 时 $v_p(f)=0$, 故 ${\mathcal{S}}_k(\Gamma )=\{0\}$ 且: $$4v_{\rho }(f)+6v_i(f)=k$$由于左侧显然为偶数所以 ${\mathcal{M}}_k(\Gamma )\ne \{0\}\Rightarrow k\equiv 0(\mathrm{mod}2)$.

当 $k=2$ 时很明显上述方程无解, 故 ${\mathcal{M}}_2(\Gamma )=0$.

$\square$

由于 Eisenstein 级数的存在, 我们发现 $k\in \{4,6,8,10\}$ 时 $\dim {\mathcal{M}}_k=1$, 故结合定理 4.3 和定理 4.4 , 有:

命题 4.5 (维数公式). 当 $k<0$ 时 ${\mathcal{M}}_k=\{0\}$, 当 $k\ge 0$ 时 $$\dim {\mathcal{M}}_k(\Gamma )=\{\begin{array}{ll}\lfloor k/12\rfloor +1& k\not\equiv 2(\mathrm{mod}12)\\ \lfloor k/12\rfloor & k\equiv 2(\mathrm{mod}12).\end{array}$$

几何意义

写如何将模形式实现为线丛的截面

Hecke 代数作用

(...)

5推广

(...) Maass 形式, Hilbert 模形式, Siegel 模形式, Jacobi 形式, 自守形式, 模积分, 自守因子.

6相关概念

术语翻译

模形式 • 英文 modular form • 德文 Modulform • 法文 forme modulaire

模函数 • 英文 modular function • 德文 Modulfunktion • 法文 fonction modulaire

权 • 英文 weight • 德文 Gewicht (n) • 法文 poids (m)

尖点形式 • 英文 cusp form • 德文 Spitzenform • 法文 forme parabolique

自守形式 • 英文 automorphic form • 德文 automorphe Form • 法文 forme automorphe

模群 • 英文 modular group • 德文 Modulgruppe • 法文 groupe modulaire