椭圆曲线

在代数几何中, 椭圆曲线是一类代数曲线, 是指亏格为 $1$ 的射影代数曲线. 椭圆曲线也是 Abel 簇和 Calabi–丘簇在一维情形的特例. 域上的每条椭圆曲线 $E$ 的全体闭点 $E(k)$ 上都带有典范的 Abel 群结构, 这也使得 $E$ 成为紧合的群概形.

在复数域 $\mathbb{C}$ 上, 通过代数几何–解析几何对应, 椭圆曲线可以视为亏格 $1$ 的 Riemann 面, 也就是环面. 等价地说, 若 $\Lambda \subset \mathbb{C}$ 是秩为 $2$ 的晶格, 则商集 $X=\mathbb{C}/\Lambda$ 同胚于环面, 其具有自然的复结构使之成为 Riemann 面, 这样得到的 $X$ 就是椭圆曲线. $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线都能够这样得到.

一般而言, 域 $k$ 上的椭圆曲线总可以写成 射影平面 ${\mathbb{P}}_k^2$ 中的光滑三次曲线, 当 $k$ 的特征不为 $2$ 或 $3$ 时, 这样的方程总可以通过变量替换, 写成形如$$y^2=x^3+ax+b(4a^3+27b^2\ne 0)$$的形式, 称为 Weierstraß 标准型. 这是椭圆曲线对应的仿射簇的方程, 椭圆曲线是它对应的射影簇.

作为例子, Mordell 曲线就是上述标准型中 $a=0$ 的特例, 其方程一般被写作 $y^2=x^3+k(k\ne 0)$. 椭圆曲线族 Legendre 族也具有相似的形式 $y^2=x(x-1)(x-\lambda )(\lambda \ne 0,1)$.

另外, 椭圆曲线也给出一族形式群律, 由此可以构造椭圆上同调.

1定义

域上的椭圆曲线

定义 1.1 (椭圆曲线). 域 $k$ 上的椭圆曲线是指二元组 $(E,O)$, 其中

•	$E$ 是 $k$ 上的光滑、射影代数曲线, 其亏格为 $1$.

•	$O\in E$ 是一个 $k$-点, 称为原点.

无歧义时, 常直接称 $E$ 为椭圆曲线.

这里 $O$ 就是接下来定义的群结构的幺元, 在具有标准型时一般选择无穷远点.

群的结构可以用除子类群或说 Jacobi 簇 $J(E)$ 来定义, 具体来说等价于如下的初等定义: 对 $p,q\in E$, 应用 Bézout 定理, 连接 $p,q$ 的直线与 $E$ 交于 (按重数计) 第三点 $r$. 我们就定义 $p+q=-r$, 其中 $-r$ 是连接 $r,O$ 的直线和 $E$ 相交的第三点. 于是对共线的三点 $p,q,r$, 我们有关系 $p+q+r=O$.

对于 $E$ 取标准型且 $O$ 是无穷远点的情况, $-r$ 即 $r$ 关于 $x$ 轴的坐标对称.

对于 $\mathbb{C}$ 上的椭圆曲线, 若如上文这样构造, 则它上的 Abel 群结构将同构于商群 $\mathbb{C}/\Lambda$, 其中的加法诱导自 $\mathbb{C}$ 中的加法. 从 Weierstraß 标准型给出的椭圆曲线到 $\mathbb{C}/\Lambda$ 的解析同构由 Weierstraß 椭圆函数 $\wp$ 和它的导函数 ${\wp }^{\prime }$ 给出.

相对椭圆曲线

椭圆曲线的概念也可以推广到一般的概形上. 大致来说, 这表示一族域上的椭圆曲线, 或者说 “相对” 的椭圆曲线.

定义 1.2 (相对椭圆曲线). 设 $S$ 是概形, $S$ 上的椭圆曲线指的是三元组 $(E,p,O)$, 其中

•

$E$ 是概形.

•	$p:E\to S$ 是紧合光滑态射, 使得它在 $S$ 每一点处的纤维都是亏格为 $1$ 的代数曲线.

•	$O$ 是概形态射 $S\to E$, 使得 $p\circ O$ 为恒等态射.

无歧义时, 也将椭圆曲线直接记为 $E$ 或 $E/S$.

2性质

群结构

(...)

标准型与分类

(...)

复椭圆曲线

(...)

3相关概念

•	椭圆曲线模空间
•	超异椭圆曲线
•	椭圆曲面
•	椭圆上同调

术语翻译

椭圆曲线 • 英文 elliptic curve • 德文 elliptische Kurve (f) • 法文 courbe elliptique (f) • 日文 楕円曲線 (だえんきょくせん) • 韩文 타원 곡선 (橢圓曲線)