Hecke 代数 (双陪集)

对群 $G$ 和子群 $H$, 双陪集 $H\backslash G/H$ 的 Hecke 代数是其上函数在卷积下构成的结合代数. 在一些特殊情况下, Hecke 代数的结构有较好的描述, 此类结论例如 Satake 同构.

Hecke 代数在数论和表示论中很常见, 模形式和自守形式上均有 Hecke 代数的作用, 称为 Hecke 算子.

当 $G$ 是 Lie 群或代数群, 且 $H$ 为相应的子结构时, Hecke 代数可以做范畴化: 此时会考虑齐性空间 $G/H$ 上 $H$-等变层构成的范畴, 层之间也可以定义卷积操作; Hecke 代数的结构定理也可以推广, 例如几何 Satake 等价; 自守形式上的 Hecke 算子也推广为 Hecke 对应.

1定义

定义 1.1 (Hecke 代数). 设 $G$ 是 群, $H$ 是它的子群, 满足以下有限条件:

•	对任意 $g\in G$, $HgH/H$ 有限.

$A$ 为交换环, Hecke 代数 $\mathcal{H}(G/H,A)$ 是如下 $A$-结合代数:

•	作为集合, 它由所有有限支集映射 $H\backslash G/H\to A$ 构成.

•	作为 $A$-模, 它的加法和数乘逐点定义.

•	它的乘法是如下卷积: 将 $H\backslash G/H$ 上的函数视为 $G/H\times G/H$ 上的 $G$-不变函数 (这里 $G$ 对角作用), 则$$u\ast v(x,z)=\sum _{y\in G/H}u(x,y)v(y,z).$$

•	它的乘法单位元是在双陪集 $H$ 取 $1$ 而在其它点取 $0$ 的映射.

在卷积下, 也有一类自然的 Hecke 代数的模.

定义 1.2 (Hecke 代数的模). 在上述假设下, 设 $K$ 是 $G/H$ 的子群, 将 $K\backslash G/H$ 上函数视为 $G/K\times G/H$ 上 $G$-不变函数, 有限支集映射 $K\backslash G/H\to A$ 之集 $C_c(K\backslash G/H,A)$ 有如下 $\mathcal{H}(G/H,A)$-右模结构: $$u\ast v(x,z)=\sum _{y\in G/H}u(x,y)v(y,z),$$其中 $u\in C_c(K\backslash G/H,A)$, $v\in \mathcal{H}(G/H,A)$.

2例子

例 2.1. 作为平凡的例子, 当 $H$ 为平凡群时, $\mathcal{H}(G/H,A)$ 即是群代数 $A[G]$.

这些结论大概需要系数环满足一些条件, 但我暂时不知最一般的结论是什么

以下两例阐述了双陪集的 Hecke 代数与 Weyl 群的 Hecke 代数的关系.

例 2.2. 令 $G$ 为有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的约化群, $B$ 是它的 Borel 子群, $W$ 是 $G$ 的 Weyl 群, 则有同构$$\mathcal{H}(G({\mathbb{F}}_q)/B({\mathbb{F}}_{\mathbb{q}}))\simeq \mathcal{H}(W,q^{1/2}).$$其中后者表示 $W$ 的 Hecke 代数在 $q$ 处的特殊化.

例 2.3. 令 $G$ 为有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的约化群, $I$ 是 $G({\mathbb{F}}_q((t)))$ 的 Iwahori 子群, 则有同构$$\mathcal{H}(G({\mathbb{F}}_q((t)))/I)\simeq \mathcal{H}(W_{\text{aff}},q^{1/2})$$这里 $W_{\text{aff}}$ 是 $W$ 对应的仿射 Weyl 群.

下面一例则是著名的 Satake 同构.

例 2.4. 令 $G$ 为有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上的约化群, 则有同构$$\mathcal{H}(G({\mathbb{F}}_q((t)))/G({\mathbb{F}}_q[[t]]),\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}])\simeq \mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}][{\mathrm{X}}_0(T){]}^W.$$这里 ${\mathrm{X}}_0(T)$ 表示 $G$ 的余权格, $W$ 表示 $G$ 的 Weyl 群.

以上是函数域的 Satake 同构, 对数域也有类似结论. 在模形式理论中用到的 Satake 同构则是

例 2.5. $$\mathcal{H}({\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Q}}_p)/{\mathrm{GL}}_n({\mathbb{Z}}_p),\mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}])\simeq \mathbb{Z}[q^{\pm 1/2}][{\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n^{\pm 1}].$$这里的 ${\sigma }_1,\cdots ,{\sigma }_n$ 即是 Hecke 算子, 它们可以作用在模形式上.

3相关概念

•	Coxeter 群的 Hecke 代数

•

Hecke 对应

•

Hecke 算子

术语翻译

Hecke 代数 • 英文 Hecke algebra • 法文 algèbre de Hecke