Lie 群

Lie 群是带有光滑流形结构的群. 群描述对象的对称性, 而 Lie 群描述对象的连续对称性. 例如, 三维空间中的球面关于任何旋转、翻转都对称. 这些旋转、翻转构成一族连续的对称变换, 这些变换构成的 Lie 群是正交群 $\mathrm{O}(3)$.

Lie 群的 “无穷小元素” (“无穷小对称变换”) 构成的代数结构称为 Lie 代数.

1定义

实 Lie 群

定义 1.1 (Lie 群). 一个 Lie 群 (或实 Lie 群) 是指一个光滑流形 $G$, 其点的集合带有一个群结构, 满足以下条件:

•	群的乘法运算 $m:G\times G\to G$, 以及取逆元的运算 $i:G\to G$, 都是光滑映射.

定义 1.2 (Lie 群同态). 设 $G,H$ 是两个 Lie 群. 它们之间的 Lie 群同态是指一个光滑映射 $f:G\to H$, 它同时也是群同态.

定义 1.3 (Lie 群范畴). 所有 Lie 群 (定义 1.1) 和它们之间的 Lie 群同态 (定义 1.2) 构成的范畴称为 Lie 群范畴, 记为 $\mathsf{LieGp}$.

复 Lie 群

定义 1.4 (复 Lie 群). 一个复 Lie 群是指一个复流形 $G$, 其点的集合带有一个群结构, 满足以下条件:

•	群的乘法运算 $m:G\times G\to G$, 以及取逆元的运算 $i:G\to G$, 都是复流形之间的全纯映射.

定义 1.5 (复 Lie 群同态). 设 $G,H$ 是两个复 Lie 群. 它们之间的复 Lie 群同态是指一个全纯映射 $f:G\to H$, 它同时也是群同态.

定义 1.6 (复 Lie 群范畴). 所有复 Lie 群 (定义 1.4) 和它们之间的复 Lie 群同态 (定义 1.5) 构成的范畴称为复 Lie 群范畴.

2例子

•	实数
•	线性群 ∘ 一般线性群 ∘ 特殊线性群 ∘ 正交群、酉群 ∘ 特殊正交群、特殊酉群 ∘ 辛群 ∘ 酉辛群
•	仿射群
•	Poincaré 群

3性质

(...)

4相关概念

术语翻译

Lie 群 • 英文 Lie group • 德文 Lie-Gruppe • 法文 groupe de Lie