用户: 数学迷/Apprentice 的幂等元技巧

Apprentice 很久以前给我说过这么一个技巧, 来证明可分闭域上除环只有自身. 我起初在写 Brauer 群条目的时候写上了, 后来发现它是多余的. 之后这个命题本身可能考虑放到幂等元条目.

命题 1. 设 $R$ 是交换环, $A$ 是 $R$ 上有限投射的结合代数. 则交换 $R$-代数范畴到集合范畴的函子$${\mathrm{Idem}}_{A/R}(R^{\prime }):=\mathrm{Idem}(A{\otimes }_R{R}^{\prime }),$$其中 $\mathrm{Idem}(-)$ 表示环的幂等元集, 给出 $R$ 上光滑概形.

证明. 将 $A$ 表为 $R^N$ 的 $R$-模直和项, 将 $A$ 中乘法的各系数具体写出, 知 ${\mathrm{Idem}}_{A/R}$ 是 ${\mathbb{A}}_R^N$ 中被有限个方程定义的闭子概形, 即其在 $R$ 上有限表现. 故欲证光滑, 只需证形式光滑, 即对任一 $R^{\prime }$ 以及平方为零的理想 $I\subseteq R^{\prime }$, 证明 ${\mathrm{Idem}}_{A/R}(R^{\prime })\twoheadrightarrow {\mathrm{Idem}}_{A/R}(R^{\prime }/I)$. 沿 $R\to R^{\prime }$ 基变换, 可不妨设 $R^{\prime }=R$.

现在相当于要证对理想 $I^2=0$, $A/IA$ 的幂等元都能提升为 $A$ 的幂等元. 任取幂等元 $\bar{a}\in A/IA$ 及其任意原像 $a\in A$, 有 ${\bar{a}}^2=\bar{a}$, 从而 $a(1-a)\in I$, $a^2(1-a{)}^2=0$. 令 $a^{\prime }=3a^2-2a^3$, 则 $\overline{a^{\prime }}=3{\bar{a}}^2-2{\bar{a}}^3=\bar{a}$, 且$$a^{\prime }(1-a^{\prime })=(3a^2-2a^3)(1-3a^2+2a^3)=a^2(1-a{)}^2(3-2a)(1+2a)=0,$$故 $a^{\prime }\in A$ 是幂等元且提升 $\bar{a}$. 命题得证.

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推论 2. 可分闭域上的有限维中心除环只有自身, 即其 Brauer 群平凡.

证明. 设 $k$ 为可分闭, $D$ 为其上有限维中心除环. 由命题 1, ${\mathrm{Idem}}_{D/k}$ 是 $k$ 上光滑概形. 可分闭域上的光滑概形中有理点稠密, 而由于 $D$ 是除环, ${\mathrm{Idem}}_{D/k}(k)=\{0,1\}$ 只有两个有理点, 故概形 ${\mathrm{Idem}}_{D/k}$ 无非就是两个 $\mathrm{Spec}k$. 于是 $D$ 基变换到 $k$ 的代数闭包之后仍只有两个幂等元; 而代数闭包上的中心单代数都是矩阵环, 只有两个幂等元说明只能是一阶矩阵环, 故 $D=k$.

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