光滑概形

在代数几何中, 域 $k$ 上的光滑概形是指局部看起来像仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 的 $k$-概形, 也就是没有奇点的 $k$-概形. 若一个光滑概形也是代数簇, 则称之为光滑簇. 光滑簇可以视为微分几何中光滑流形、复流形等概念在代数几何中的类比.

光滑概形的相对版本是光滑态射. 换言之, 光滑态射描述 “一族光滑概形” 的概念.

1定义

定义 1.1. 设 $k$ 是域.

•	$k$ 上的光滑概形是指 $k$-概形 $X$, 其结构态射 $X\to \mathrm{Spec}k$ 是光滑态射.

•	$k$ 上的光滑簇是指 $k$-代数簇 $X$, 其结构态射 $X\to \mathrm{Spec}k$ 是光滑态射.

由于光滑态射都是局部有限型态射, 光滑概形只需再满足拟紧、分离两个条件就是光滑簇.

也有概形在某点处光滑的概念:

定义 1.2. 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-概形, $x\in X$ 是其中一点. 称 $X$ 在 $x$ 处光滑, 或者说 $x$ 是 $X$ 的光滑点, 是指满足以下条件:

•	存在 $x$ 的开邻域 $x\in U\subset X$, 使得 $U$ 是光滑 $k$-概形.

$X$ 的所有光滑点构成开子概形 $X^{\mathrm{sm}}\subset X$, 它是光滑概形.

光滑性是局部性质. 也就是说, $k$-概形 $X$ 光滑等价于其在每点处光滑.

$X$ 的非光滑点常常称为奇点. 需要注意, 严格来说, 奇点定义为使 $X$ 不正则的点, 但光滑性和正则性在完全域上是等价的 (定理 2.3), 此时使用这一术语是没有歧义的.

2性质

局部刻画

以下结论由光滑态射的性质蕴涵.

定理 2.1 (局部刻画). 设 $k$ 是域, $X$ 是 $k$-概形, $x\in X$ 是其中一点. 则下列等价:

•	$X$ 在 $x$ 处光滑 (定义 1.2).

•

存在仿射开集 $x\in U\simeq \mathrm{Spec}R\subset X$, 使得有 $k$-代数的同构$$R\simeq k[x_1,\dots ,x_n]/(f_1,\dots ,f_m),$$即 $U$ 在仿射空间 ${\mathbb{A}}_k^n$ 中由方程 $f_1=\cdots =f_m=0$ 所刻画, 且 $x$ 处 Jacobi 矩阵$$\left(\begin{array}{cccc}\partial f_1/\partial x_1& \partial f_1/\partial x_2& \cdots & \partial f_1/\partial x_n\\ \partial f_2/\partial x_1& \partial f_2/\partial x_2& \cdots & \partial f_2/\partial x_n\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \partial f_m/\partial x_1& \partial f_m/\partial x_2& \cdots & \partial f_m/\partial x_n\end{array}\right)(x)$$的秩为 $m$.

•	存在开集 $x\in U\subset X$, 自然数 $n$, 以及平展态射 $f:U\to {\mathbb{A}}_k^n$.

普遍光滑性

主条目: 普遍光滑性

定理 2.2 (普遍光滑性). 若 $k$ 是完全域, $X$ 是局部有限型 $k$-概形, 则其光滑点集 $X^{\mathrm{sm}}\subset X$ 是 $X$ 的稠密开集.

(参考文献...)

与正则概形的联系

光滑概形与正则概形的概念紧密联系. 下面的结论说明, 在完全域上, 二者是等价的概念:

定理 2.3. 设 $k$ 是域.

•	任何光滑 $k$-概形都是正则概形.

•	若 $k$ 是完全域, 则 $k$ 上任何局部有限型的正则概形都是光滑 $k$-概形.

在非完全域上, 则存在不光滑但正则的局部有限型概形. 例如, 对特征 $p$ 非完全域 $k$, 若 $a\in k$ 不是任何元素的 $p$ 次幂, 则仿射曲线 $\{x^p+y^p=a\}\subset {\mathbb{A}}_k^2$ 是正则概形, 但不是光滑 $k$-概形.

3相关概念

术语翻译

光滑概形 • 英文 smooth scheme • 德文 glatter Schema (n) • 法文 schéma lisse (m)

光滑簇 • 英文 smooth variety • 德文 glatte Varietät (f) • 法文 variété lisse (f) • 日文 滑らか多様体 (なめらかたようたい) • 韩文 매끄러운 다양체