结合代数

本文介绍的是作为代数结构的结合代数. 关于它在范畴代数中的推广, 请参见 “结合代数 (范畴论)”.

结合代数 (常简称为代数) 是一种代数结构, 它是某个交换环 $R$ 上的模 (或域上的向量空间), 并且带有自身的乘法, 这种乘法满足结合律, 且是 $R$-双线性的. 研究结合代数, 尤其是那些不交换的结合代数的学科是非交换代数.

结合代数的一类重要例子是矩阵代数, 即某个域上全体 $n$ 阶方阵构成的代数. 这种代数满足良好的性质, 例如它的任意表示都是不可约表示的直和, 这种性质称为半单性. 还有一类较好的结合代数是箭图代数, 即箭图上路径生成的代数, 这种代数是拟遗传代数. 而一般的有限维结合代数则可以写成箭图代数的商代数来研究.

结合代数也可以从其它的代数结构构造而来, 例如由群可以构造它的群代数, 由 Lie 代数可以构造它的泛包络代数. 由此可以将其它代数结构的表示论统一到结合代数表示的框架中来.

1定义

定义 1.1 (结合代数). 设 $R$ 是交换环. $R$ 上的结合代数 (也称为 $R$-代数) 是指二元组 $(A,\cdot )$, 其中

•	$A$ 是 $R$-模.

•	$\cdot$ 是 $A$ 上的二元运算, 称为乘法.

这两种结构满足以下的相容性:

•	乘法是 $R$-双线性的: 对任意 $r\in R$ 和 $a,b\in A$, 有$$ra\cdot b=r(a\cdot b)=a\cdot rb.$$

•	$(A,+,\cdot )$ 构成一个环, 其中 $+$ 是 $A$ 作为 $R$-模的加法.

在无歧义时, 也直接称 $A$ 为 $R$ 上的结合代数.

注 1.2. 我们定义的结合代数是带有乘法单位的, 因此也被称为含幺结合代数. 相应地, 也有无幺结合代数的概念. 这也是数学术语中白马非马的一个例子.

注 1.3. 定义 1.1 可以等价表述如下: $R$ 上的结合代数是一个环 $A$, 带有一个环同态 $R\to A$, 其像落在 $A$ 的中心中.

定义 1.4 (结合代数同态). 设 $R$ 是交换环, $A,B$ 是 $R$ 上的结合代数 (定义 1.1). 则 $A,B$ 之间的同态是一个映射 $f:A\to B$, 它既是 $R$-模同态, 又是环同态.

定义 1.5 (结合代数范畴). 设 $R$ 是交换环. 则 $R$ 上所有结合代数和它们之间的同态构成一个范畴, 我们记为 $R\text{-}\mathsf{Alg}$.

2例子

•	复数域和四元数环都是实数域上的结合代数.

•	域 $k$ 上向量空间的自同态环 ${\mathrm{End}}_k(V)$ 是结合代数. 如果将坐标写出来, 这也就是 $n$ 阶矩阵代数 ${\mathrm{M}}_n(k)$. 对一般的交换环上的模也有类似构造.

•	作为以上例子的无穷维推广, 对 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$, 它到自身的全体有界算子构成的代数 $B(\mathcal{H})$ 是 $\mathcal{C}$ 上的结合代数.

•	对交换环 $R$ 和群 $G$, 群代数 $R[G]$ 是 $R$ 上的结合代数.

•	对交换环 $R$ 和箭图 $Q$, 箭图代数 $R[Q]$ 是 $R$ 上的结合代数.

•	Lie 代数 $\mathfrak{g}$ 的泛包络代数 $U(\mathfrak{g})$ 是结合代数.

3相关概念

•	结合代数表示
•	非结合代数

术语翻译

结合代数 • 英文 associative algebra • 德文 assoziative Algebra • 法文 algèbre associative • 拉丁文 associativa algebra • 古希腊文 προσεταιριστικὴ μεταριθμία