用户: 方恪身/刚性上同调

刚性上同调是由 P. Berthelot 引入的一种 $p$-进上同调函子. 它对任何定义于某个固定的正特征 $p$ 的域 $k$ 上的代数簇 $X$ 赋予了一个有限维分次 $K$-向量空间 $H_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}}^{\bullet }(X/K)$, 其中 $K$ 是某个具有特征 0 的完备非 Archimedes 域, 并且 $K$ 以 $k$ 为剩余域.

若 $X$ 完备且光滑, $W$ 是 $k$ 的一个 Cohen 环 (当 $k$ 为完美域时, $W$ 为 $k$ 的 Witt 向量环), $K=W[1/p]$ 为 $W$ 的分式域, 则 $H_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}}^{\bullet }(X/K)$ 同构于有理晶体上同调 $H_{\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{s}}^{\bullet }(X/W)[1/p]$. 对非完备或非光滑的代数簇, 其有理晶体上同调并非有限维. 因此刚性上同调可被认为有理晶体上同调的 “正确表述”.

光滑仿射代数簇的刚性上同调同构于 Monsky–Washnitzer 上同调.

除了上述 “绝对” 版本外, 也可定义具有固定支集的刚性上同调, 具有紧支集的刚性上同调. 更一般地, 这些刚性上同调空间还可以以任何过收敛有理晶体为局部系数.

1定义

先设定一些记号.

•	令 $k$ 为具有特征 $p>0$ 的域. 令 ${\mathcal{O}}_K$ 为以 $k$ 为剩余域的特征为 0 的完备离散赋值环. 令 $K$ 为 ${\mathcal{O}}_K$ 的分式域, 并以 $|\cdot |$ 来表记其绝对值.
•	令 $S=\mathrm{Spf}{\mathcal{O}}_K$. 对 $S$ 上的形式概形 $P$, 我们用记号 $P_k$ 来代表概形 $P{\times }_S\mathrm{Spec}k$, $P_K$ 来代表 $P$ 的 Raynaud 一般纤维.
•	令 $X$ 为 $k$ 上的代数簇.

与晶体上同调理论不同, 此处不需假设 $V$ 具有 PD 结构, 因此它可以非常分歧.

定义 1.1 (标架). 包含了代数簇 $X$ 的标架为一系列态射 $X\hookrightarrow Y\hookrightarrow P$, 其中 $Y$ 是 $k$ 上代数簇, $X\hookrightarrow Y$ 为开嵌入, $P$ 为 $V$ 上的形式概形, $Y\hookrightarrow P_k\to P$ 为闭嵌入.

定义 1.2 (光滑标架). 称标架 $(X\subset Y\subset P)$ 为光滑标架, 如果 $P$ 为光滑的形式概形.

定义 1.3 (完备标架). 称标架 $(X\subset Y\subset P)$ 为完备标架, 如果 $Y$ 为完备的 $k$-概形.

定义 1.4 (管状邻域). 设 $P=\mathrm{Spf}A$ 为 $S$ 上具有有限拓扑型的仿射形式概形. 设 $f_1,\dots ,f_r,g_1,\dots ,g_2\in A$, $Y=\mathrm{Spec}A/I\cap D(g_1,\dots ,g_s)\cap P_k$. 对 $\eta >0$, 定义$$\begin{array}{rl}[Y{]}_{P\eta }& =\{x\in P_K:\forall 1\le i\le r,|f_i(x)|\le \eta ,且\exists 1\le j\le s,|g_j(x)|=1\}.\\ ]Y{[}_{P\eta }& =\{x\in P_K:\forall 1\le i\le r,|f_i(x)|<\eta ,且\exists 1\le j\le s,|g_j(x)|=1\}.\end{array}$$可以证明, 存在常数 ${\eta }_0$, 若 ${\eta }_0<\eta <1$, 则上述定义只依赖于概形 $Y$, 形式概形 $\mathrm{Spf}A$, 以及数字 $\eta$, 而与 $f_i,g_j$ 选择无关. 因此, 对任何形式概形 $P$, 任何 $P_k$ 的局部闭子概形 $Y$, 上述局部表达可以整体化而给出 $[Y{]}_{P\eta }$, $]Y{[}_{P\eta }$. 它们分别称作 $Y$ 在 $P$ 中的半径为 $\eta$ 的闭 (开) 管状邻域. $]Y{[}_P={\bigcup }_{{\eta }_0<\eta <1}[Y{]}_{P\eta }$ 则被简单地称作 $Y$ 的管状邻域.

定义 1.5 (严格邻域). 设 $V$ 是 $K$ 上的刚解析空间, $T$ 是 $V$ 之可容许开集. 则 $V\setminus T$ 的一个严格邻域是指 $V$ 的可容许开集 $W$, 满足 $W\cup T$ 是 $V$ 的可容许覆盖.

定义 1.6 (过收敛拉回). 设 $(X\subset Y\subset P)$ 为包含 $X$ 的标架. 令 $j_X:]X{[}_P\to ]Y{[}_P$ 为包含态射. 对 $]Y{[}_P$ 上的层 $\mathcal{E}$, 定义其过收敛拉回为$$j_X^{†}\mathcal{E}=\underset{V}{\mathrm{colim}}{j}_{V\ast }{j}_V^{-1}\mathcal{E}$$其中 $V$ 跑遍 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P$ 中的严格邻域.

定义 1.7 (刚性上同调). 设 $(X\subset Y\subset P)$ 为光滑完备标架. 则 $]Y{[}_P$ 的 de Rham 复形的过收敛拉回 $j_X^{†}{\Omega }_{]Y{[}_P/K}^{\bullet }$ 的超上同调与光滑完备标架的选择无关. 它的上同调定义为 $X$ 的刚性上同调: $$H_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}}^{\bullet }(X/K)=R^{\bullet }\Gamma (]X{[}_P,j_X^{†}{\Omega }_{]Y{[}_P/K}^{\bullet })$$

2过收敛有理晶体

这一节中, 我们采用较为具体的可积联络的方式定义过收敛有理晶体. 这样的好处是能够在现实中写下并验证某些联络给出过收敛有理晶体, 坏处是需要证明定义与诸多选择无关.

记号如上一节. 设 $(X\subset Y\subset P)$ 为包含代数簇 $X$ 的标架. 若 $V$ 是 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P$ 中的严格邻域, 那么对任何 $V$ 上的可积联络 $(\mathcal{V},\nabla )$, 我们可以考虑其 de Rham 复形的过收敛拉回$$j_X^{†}\mathrm{D}\mathrm{R}(V,(\mathcal{V},\nabla ))=j_X^{†}({\Omega }_{]Y{[}_P/K}^{\bullet }{\otimes }_{{\mathcal{O}}_V}\mathcal{V})$$然而, $V$ 上的可积联络的范畴并非仅依赖于 $X$. 需在其上增添更多条件才能得到仅与 $X$ 有关的范畴.

定义 2.1 (过收敛联络). 设 $(X\subset Y\subset P)$ 为包含 $X$ 的标架. 设 $V$ 是 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P$ 中的严格邻域. 设 $(\mathcal{V},\nabla )$ 是 $V$ 上的有限秩可积联络. 我们称 $(\mathcal{V},\nabla )$ 是过收敛的, 如果存在 $V^{\prime }\subset (V{\times }_{K}V)\cap ]Y{[}_{P{\times }_{K}P}$, $V^{\prime }$ 是 $]X{[}_{P{\times }_{K}P}$ 在 $]Y{[}_{P{\times }_{K}P}$ 中的严格邻域, 以及同构$$ϵ:p_2^{\ast }\mathcal{V}{|}_{V^{\prime }}\stackrel{\sim }{\to }{p}_1^{\ast }\mathcal{V}{|}_{V^{\prime }},$$使得 $ϵ$ 在 $]X{[}_{P{\times }_{K}P}$ 无穷小邻域上诱导的同构等于可积联络 $\nabla$ 的 Taylor 同构.

严格邻域 $V$ 上过收敛联络在显然的态射下构成范畴, 记为 ${\mathrm{M}\mathrm{I}\mathrm{C}}^{†}(V)$.

因此, 联络过收敛无非是说它所定义的无穷小平行移动能在 “较大范围” 内定义. 与晶体理论一样, 它可转化为计算某泰勒级数的收敛半径. 但是在此将定义展开过于琐碎. 我们将在下一节给出一个具体的例子.

定义 2.2 (过收敛晶体). 设 $(X\subset Y\subset P)$ 是包含 $X$ 的光滑紧合标架. 则范畴之余极限$${\mathrm{Isoc}}^{†}(X/K)=\underset{V}{\mathrm{colim}}{\mathrm{M}\mathrm{I}\mathrm{C}}^{†}(V)$$(其中 $V$ 跑遍 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P$ 中的严格邻域) 与标架选择无关, 只依赖于 $X$ 与 $K$. 这个范畴称为 $X$ 上的过收敛有理晶体范畴, 它里面的对象称为过收敛有理晶体. 若范畴 ${\mathrm{MIC}}^{†}(V)$ 中的对象 $(\mathcal{V},\nabla )$ 决定了过收敛有理晶体 $\mathcal{M}$, 我们称 $(\mathcal{V},\nabla )$ 是 $\mathcal{M}$ 在标架 $(X\subset Y\subset P)$ 的严格邻域 $V$ 上的表达.

定义 2.3 (过收敛有理晶体的刚性上同调). 设 $\mathcal{M}$ 为代数簇 $X$ 上的过收敛有理晶体. 设它在光滑紧合标架 $(X\subset Y\subset P)$ 中被 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P$ 中的某个严格邻域 $V$ 上的可积联络 $(\mathcal{V},\nabla )$ 所表达. 则 $]X{[}_P$ 关于过收敛拉回 $j_X^{†}\mathrm{D}\mathrm{R}(V,(\mathcal{V},\nabla ))$ 的超上同调与标架以及 $\mathcal{M}$ 在标架上的表达无关. 定义它为 $X$ 关于系数 $\mathcal{V}$ 的刚性上同调: $$H_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}}^{\bullet }(X/K,\mathcal{M})=R^{\bullet }\Gamma (]X{[}_P,j^{†}\mathrm{D}\mathrm{R}(V,(\mathcal{V},\nabla )).$$

3最简单的例子

例 3.1. 令 $X={\mathbb{A}}_k^1$, $Y={\mathbb{P}}_k^1$, $P={\hat{\mathbb{P}}}_S^1$. 则 $(X\subset Y\subset P)$ 为完备光滑标架. 此时, $]Y{[}_P=P_K={\mathbb{P}}_K^{1,\mathrm{a}\mathrm{n}}$, $]X{[}_P$ 是单位闭圆盘$$D^{+}(0;1)=\mathrm{Spm}K⟨t⟩,$$其中 $K⟨t⟩$ 是 Tate 代数$$\begin{array}{rl}K⟨t⟩& =\left(\underset{n}{\lim }V[t]/{\varpi }^{n}V[t]\right)\left[\frac{1}{\varpi }\right]\\ & =\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]:|a_n|\to 0\right\}\end{array}$$这里, $\varpi$ 是 $V$ 的极大理想的一个生成元. 留给读者验证, 代数 $K⟨t⟩$ 的 de Rham 复形具有无限维的 $H^1$. 实际上, 它等于 ${\mathbb{A}}_k^1$ 的第一个有理晶体上同调, 或者 Ogus 所定义的收敛上同调.

而 $]X{[}_P$ 在 $]Y{[}_P=P_K$ 中的任何严格邻域都包含于某个形如$${\mathbb{P}}_K^{1,\mathrm{a}\mathrm{n}}\setminus ]{\infty }_k{[}_{{\hat{\mathbb{P}}}_S^1,\eta }$$的严格邻域中. 上述严格邻域为半径为 $\rho ={\eta }^{-1}$ 的闭圆盘: $$D^{+}(0;\rho )=\mathrm{Spm}K⟨\frac{t}{\rho }⟩,$$这里, 对实数 $\rho >0$ $$K⟨\frac{t}{\rho }⟩=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K[[t]]:|a_n|{\rho }^n\to 0\right\}.$$而这些严格邻域的结构层的过收敛拉回的截面恰为 Monsky–Washnitzer 代数$$K⟨t{⟩}^{†}=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n\in K⟨t⟩:\exists \rho >1,|a_n|{\rho }^n\to 0\right\}.$$(利用 $D^{+}(0;1)$ 为拟 Stein 域) 这个代数的 de Rham 复形即计算了刚性上同调: $$R{\Gamma }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}}({\mathbb{A}}_k^1/K)=\left[K⟨t{⟩}^{†}\stackrel{\frac{\partial }{\partial t}}{\to }K⟨t{⟩}^{†}\right].$$直接计算可知, 这个复形的第零个上同调同构于 $K$, 第一个上同调是平凡的.

例 3.2 (Dwork 晶体). 令 $K={\mathbb{Q}}_p[\pi ]$. 这里 $\pi$ 是所谓的 “Dwork pi”: 它满足方程 ${\pi }^{p-1}+p=0$. 此时 $k={\mathbb{F}}_p$. 考虑 ${\mathbb{A}}_k^1$ 的标架 $(X\subset Y\subset P)=({\mathbb{A}}_k^1\subset {\mathbb{P}}_k^1\subset {\hat{\mathbb{P}}}_S^1)$. 令 $V=D^{-}(0;1+ϵ)$, 其中 $ϵ$ 是任意正数. 则 $V$ 是 $D^{+}(0;1)=]{\mathbb{A}}_k^1{[}_{{\hat{\mathbb{P}}}_S^1}$ 的一个严格邻域.

考虑 $V$ 上的秩为 $1$ 的联络$$\nabla :f\mapsto (f^{\prime }(t)+\pi f(t))\mathrm{d}t.$$对任何 $c\in D^{+}(0;1)$, 任何的常数 $C\in K$, $C\exp (\pi (t-c))$ 是 $\nabla$ 在整个开圆盘 $D^{-}(c;1)$ 上的平坦截面.

平坦截面在所有这些半径等于 1 的开圆盘上的收敛性即说明了这个联络是 Ogus 意义下的 “收敛有理晶体”. 而证明它的过收敛性则需要验证更多的条件.

在我们当前的例子里, 令 $s=1/t$ 为 $\infty \in {\mathbb{P}}_K^{1,\mathrm{a}\mathrm{n}}$ 附近的坐标, 我们要验证的是, 对任何长度充分接近于 $1$ 的 $c\in ]{\infty }_k{[}_P$, 微分方程 $s^2{f}^{\prime }(s)-f(s)=0$ 在某个 $\mathcal{O}(D^{-}(c;r_c))$ 中有所有解, 且当 $c\to 1^{-}$ 时, $r_c\to 1^{-}$.

事实上, 如果 $|s-c|<|c{|}^2$, 则有 $|s|=|s-c+c|=|c|$, 于是$$\left|\frac{1}{s}-\frac{1}{c}\right|=\frac{|s-c|}{|sc|}=\frac{|s-c|}{|c{|}^2}<1.$$故 $\exp \left(\frac{\pi }{s}-\frac{\pi }{c}\right)$ 在 $D^{-}(c;|c{|}^2)$ 上收敛, 并且它乘以常数给出了上述微分方程的所有解. 因此我们可以取 $r_c=|c{|}^2$. 它在 $|c|$ 趋于 1 时也随之趋于 $1$ 从而过收敛的条件得到了验证.

术语翻译

刚性上同调 • 英文 rigid cohomology • 法文 cohomologie rigide

过收敛 (形容词) • 英文 overconvergent • 法文 surconvergent

有理晶体 • 英文 isocrystal • 法文 isocristal