Witt 环

本文介绍的是 Witt 向量组成的环. 关于二次型理论中的 Witt 环, 请参见 “Witt 群”.

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

Witt 环是 Ernst Witt 提出的构造. 其对交换环 $R$, 具体地给可数乘积 $R^{{\mathbb{Z}}_{+}}$ 赋予一个环结构, 得到交换环 $W(R)$. 虽然 Witt 环的构造初看毫无直观, 但其在交换代数和代数数论中有一定应用. $p$ 元域 ${\mathbb{F}}_p$ 的 Witt 环是 $p$ 进整数 ${\mathbb{Z}}_p$.

1动机

如何从 ${\mathbb{F}}_p$ 显式构造出 ${\mathbb{Z}}_p$? 自然的想法是对每个 $r\in {\mathbb{F}}_p$ 取定代表元 $[r]\in {\mathbb{Z}}_p$, 然后每个 $a\in {\mathbb{Z}}_p$ 便可唯一写成$$[a_0]+[a_1]p+[a_2]p^2+\cdots$$对 $a_0,a_1,a_2,\dots \in {\mathbb{F}}_p$. 取什么代表元好呢? $0,1,\dots ,p-1$ 是最朴素的取法, 但看上去并不典范. 更典范的方法是用 Hensel 引理取出 $x^p-x=0$ 在 ${\mathbb{Z}}_p$ 的 $p$ 个根作为 $[0],[1],\dots ,[p-1]$, 这样 $[1],\dots ,[p-1]$ 就是 ${\mathbb{Z}}_p$ 中的 $p-1$ 次单位根, 映射 $r\mapsto [r]$ 便是乘性的. 其更显式的表达如下: 任取 $r\in {\mathbb{F}}_p$ 的原像 $\tilde{r}\in {\mathbb{Z}}_p$, 则$$[r]=\underset{n\to \infty }{\lim }{\tilde{r}}^{p^n}.$$例如 $p=5$ 时, $[2]=(2,7,57,\dots )\in {\lim }_n\mathbb{Z}/5^n={\mathbb{Z}}_5$, 的确是 $5-1=4$ 次单位根. 接下来要确定级数表达式的加法、乘法规则. 具体来说, 比如$$a=[a_0]+[a_1]p+[a_2]p^2+\cdots ,$$$$b=[b_0]+[b_1]p+[b_2]p^2+\cdots ,$$$$c=[c_0]+[c_1]p+[c_2]p^2+\cdots ,$$满足 $a+b=c$, 我们要将 $c_n$ 用这些 $a_n,b_n$ 表示出来. 显然 $c_0=a_0+b_0\in {\mathbb{F}}_p$; 但 $c_1$ 就未必是 $a_1+b_1$ 了, 因为 $[a_0]+[b_0]-[c_0]$ 可以有 $p$ 的一次项. 为确定它, 取原像 $\widetilde{a_0},\widetilde{b_0}$, 则 $\widetilde{a_0}+\widetilde{b_0}$ 是 $c_0$ 的一个原像; 于是$$[a_0]+[b_0]-[c_0]\equiv {\widetilde{a_0}}^p+{\widetilde{b_0}}^p-(\widetilde{a_0}+\widetilde{b_0}{)}^p(\mathrm{mod}{p}^2).$$注意 $\frac{x^p+y^p-(x+y{)}^p}{p}$ 是整系数多项式, 可以代入 ${\mathbb{F}}_p$ 中的数. 由此可知$$c_1=a_1+b_1+\frac{a_0^p+b_0^p-(a_0+b_0{)}^p}{p}\in {\mathbb{F}}_p.$$一直算下去, 可以发现 $c_n\in {\mathbb{F}}_p$ 是关于 $a_0,\dots ,a_n,b_0,\dots ,b_n$ 的整系数多项式, 这样就有了此种级数加法规则的显式公式. 乘法亦类似. Witt 环就是这一构造在一般环的推广.

2定义

Witt 环一词有如下两个含义, 不完全相同而又有紧密联系.

$p$-Witt 环

本小节中, 固定素数 $p$.

定义 2.1 (Witt 向量). 环 $R$ 的 Witt 向量指的是 $R$ 中元素序列$$(a_0,a_1,\dots ),$$它们组成的集合记作 $W(R)$. 换言之, 作为集合, $W(R)=R^{\mathbb{N}}$.

下面给 $W(R)$ 赋予与环乘积 $R^{\mathbb{N}}$ 不同的乘法.

定义 2.2 (幽灵分量). 对 $a=(a_0,a_1,\dots )\in W(R)$ 以及 $n\in \mathbb{N}$, $a$ 的第 $n$ 个幽灵分量指的是$$\sum _{i=0}^n{p}^i{a}_i^{p^{n-i}}\in R,$$记作 $a^{(n)}$.

定理 2.3. 存在唯一一组整系数多项式 $(S_n,P_n\in \mathbb{Z}[x_0,\dots ,x_n,y_0,\dots ,y_n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$, 使得对任一环 $R$, 如对 $a,b\in W(R)$ 定义 $a+b$ 为$$(S_0(a_0,b_0),S_1(a_0,a_1,b_0,b_1),\dots )\in W(R),$$定义 $ab$ 为$$(P_0(a_0,b_0),P_1(a_0,a_1,b_0,b_1),\dots )\in W(R),$$就有 $W(R)$ 是环, 且每个幽灵分量都是 $W(R)$ 到 $R$ 的环同态.

定义 2.4 (Witt 环). 交换环 $R$ 的 Witt 环, 或称 $\mathbf{p}$-Witt 环、$\mathbf{p}$-典型 Witt 环, 指的是 $W(R)$ 带上定理 2.3 所述环结构.

定义 2.5 (截断 Witt 环). 对 $n\in \mathbb{N}$, 交换环 $R$ 的 $\mathbf{n}$-截断 Witt 环, 记作 $W_n(R)$, 指的是集合 $R^n$, 带上环结构$$(a_0,\dots ,a_{n-1})+(b_0,\dots ,b_{n-1})=(S_0(a_0,b_0),S_1(a_0,a_1,b_0,b_1),\dots ,S_{n-1}(a_0,\dots ,a_{n-1},b_0,\dots ,b_{n-1})),$$$$(a_0,\dots ,a_{n-1})(b_0,\dots ,b_{n-1})=(P_0(a_0,b_0),P_1(a_0,a_1,b_0,b_1),\dots ,P_{n-1}(a_0,\dots ,a_{n-1},b_0,\dots ,b_{n-1})).$$显然, 对 $m<n$, $a\mapsto a^{(m)}$ 是 $W_n(R)$ 到 $R$ 的环同态. 此外对 $m<n$ 有自然投影 $W_n(R)\to W_m(R)$, 且 $W(R)={\lim }_n{W}_n(R)$.

大 Witt 环

大 Witt 环相当于对所有素数 $p$ 同时作 $p$-Witt 环. 本小节术语、记号均与前一小节相撞, 但通常不引起歧义.

定义 2.6 (Witt 向量). 环 $R$ 的 Witt 向量指的是 $R$ 中元素序列$$(a_1,a_2,\dots ),$$它们组成的集合记作 $W(R)$. 换言之, 作为集合, $W(R)=R^{{\mathbb{Z}}_{+}}$.

下面给 $W(R)$ 赋予与环乘积 $R^{{\mathbb{Z}}_{+}}$ 不同的乘法.

定义 2.7 (幽灵分量). 对 $a=(a_1,a_2,\dots )\in W(R)$ 以及 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $a$ 的第 $n$ 个幽灵分量指的是$$\sum _{d\mid n}d{a}_d^{n/d}\in R,$$记作 $a^{(n)}$.

定理 2.8. 存在唯一一组整系数多项式 $(S_n,P_n\in \mathbb{Z}[x_d,y_d{]}_{d\mid n}{)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}$, 使得对任一环 $R$, 如对 $a,b\in W(R)$ 定义 $a+b$ 为$$(S_n(a_d,b_d{)}_{d\mid n}{)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}\in W(R),$$定义 $ab$ 为$$(P_n(a_d,b_d{)}_{d\mid n}{)}_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}\in W(R),$$就有 $W(R)$ 是环, 且每个幽灵分量都是 $W(R)$ 到 $R$ 的环同态.

定义 2.9 (Witt 环). 交换环 $R$ 的 Witt 环, 或称大 Witt 环, 指的是 $W(R)$ 带上定理 2.8 所述环结构.

定义 2.10 (截断 Witt 环). 如子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, 则定义交换环 $R$ 的 $\mathbf{N}$-截断 Witt 环, 记作 $W_N(R)$, 指的是集合 $R^N$, 带上环结构$$(a_n{)}_{n\in N}+(b_n{)}_{n\in N}=(S_n(a_d,b_d{)}_{d\mid n}{)}_{n\in N},$$$$(a_n{)}_{n\in N}(b_n{)}_{n\in N}=(P_n(a_d,b_d{)}_{d\mid n}{)}_{n\in N}.$$显然, 对 $n\in N$, $a\mapsto a^{(n)}$ 是 $W_N(R)$ 到 $R$ 的环同态. 此外对 $M\subset N$ 有自然投影 $W_N(R)\to W_M(R)$, 且 $W(R)={\lim }_{N有限}{W}_N(R)$.

注 2.11. 上一小节定义的 $p$-Witt 环就是 $W_{\{1,p,p^2,\dots \}}(R)$, 那里的截断 Witt 环 $W_n(R)$ 就是 $W_{\{1,p,\dots ,p^{n-1}\}}(R)$. 显然 $W_{\{1\}}(R)=R$.

构造与证明

本小节给出定理 2.3 与 2.8 中多项式的构造, 从而证明之.

引理 2.12. 对任一环 $R$ 及任一 $f\in 1+tR[[t]]$, $R$ 中存在唯一一列元素 $a_1,a_2,\dots$ 使得$$f=\prod _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-a_n{t}^n).$$

证明.

证明. 对 $n$ 归纳, 把等式两边乘以 ${\prod }_{i=1}^{n-1}(1-a_n{t}^n{)}^{-1}$ 然后模 $t^{n+1}$, 知 $a_n$ 只能是 $f{\prod }_{i=1}^{n-1}(1-a_n{t}^n{)}^{-1}$ 的 $n$ 次项系数相反数, 且这样取出的序列 $a_n$ 满足要求.

$\square$

以下对环 $R$ 以及 $a=(a_1,a_2,\dots )\in W(R)$, 记 $f_a(t)={\prod }_{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-a_n{t}^n)\in 1+tR[[t]]$.

引理 2.13. $$-t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log f_a(t)=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{a}^{(n)}{t}^n,$$其中 $a^{(n)}$ 是定义 2.7 中幽灵分量.

证明.

证明. 计算$$-t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log f_a(t)=-\sum _{d\in {\mathbb{Z}}_{+}}t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log (1-a_d{t}^d)=\sum _{d\in {\mathbb{Z}}_{+}}\frac{d{a}_d{t}^d}{1-a_d{t}^d}=\sum _{d,e\in {\mathbb{Z}}_{+}}d{a}_d^e{t}^{de}=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}\left(\sum _{d\mid n}d{a}_d^{n/d}\right)t^n=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{a}^{(n)}{t}^n.$$

$\square$

下面以 $x,y$ 分别记 $(x_1,x_2,\dots ),(y_1,y_2,\dots )\in W(\mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ])$.

推论 2.14. 设 $S_1,S_2,\dots \in \mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ]$ 满足$$f_x(t)f_y(t)=\prod _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-S_n{t}^n)\in 1+t\mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ][[t]].$$则对任一环 $R$ 以及 $a,b\in W(R)$, $$S(a,b)=(S_1(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots ),S_2(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots ),\dots )$$满足 $S(a,b{)}^{(n)}=a^{(n)}+b^{(n)}$.

证明.

证明. 由于环同态 $\mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ]\to R$, $x_n\mapsto a_n$, $y_n\mapsto b_n$ 自然诱导形式幂级数环的同态, 且把 $S_n$ 映射到 $S_n(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots )$, 故在 $1+tR[[t]]$ 中有 $f_a(t)f_b(t)=f_{S(a,b)}(t)$. 两边取 $-t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log$ 即得结论.

$\square$

推论 2.15. 设 $M_1,M_2,\dots \in \mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots ]$ 满足$$(f_x(t){)}^{-1}=\prod _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-M_n{t}^n)\in 1+t\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots ][[t]].$$则对任一环 $R$ 以及 $a\in W(R)$, $$M(a)=(M_1(a_1,a_2,\dots ),M_2(a_1,a_2,\dots ),\dots )$$满足 $M(a{)}^{(n)}=-a^{(n)}$.

证明.

证明. 与推论 2.14 一样.

$\square$

推论 2.16. 设 $P_1,P_2,\dots \in \mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ]$ 满足$$\prod _{d,e\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-x_d^{[d,e]/d}{y}_e^{[d,e]/e}{t}^{[d,e]}{)}^{(d,e)}=\prod _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-P_n{t}^n)\in 1+t\mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ][[t]],$$其中 $(d,e)$ 和 $[d,e]$ 分别表示最大公约数和最小公倍数. 则对任一环 $R$ 以及 $a,b\in W(R)$, $$P(a,b)=(P_1(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots ),P_2(a_1,b_1,a_2,b_2,\dots ),\dots )$$满足 $P(a,b{)}^{(n)}=a^{(n)}{b}^{(n)}$.

证明.

证明. 同样在 $1+tR[[t]]$ 中有$$\prod _{d,e\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-a_d^{[d,e]/d}{b}_e^{[d,e]/e}{t}^{[d,e]}{)}^{(d,e)}=f_{P(a,b)}(t).$$两边取 $-t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log$ 得$$\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}P(a,b{)}^{(n)}{t}^n=\sum _{d,e\in {\mathbb{Z}}_{+}}\frac{de{a}_d^{[d,e]/d}{b}_e^{[d,e]/e}{t}^{[d,e]}}{1-a_d^{[d,e]/d}{b}_e^{[d,e]/e}{t}^{[d,e]}}=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}\left(\sum _{d,e\mid n}de{a}_d^{n/d}{b}_e^{n/e}\right)t^n=\sum _{n\in {\mathbb{Z}}_{+}}{a}^{(n)}{b}^{(n)}{t}^n.$$

$\square$

最后我们来同时证明定理 2.3 与 2.8.

命题 2.17. 如子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, 则存在唯一一组整系数多项式 $(S_n,P_n\in \mathbb{Z}[x_d,y_d{]}_{d\mid n}{)}_{n\in N}$, 满足与定理 2.8 相同的要求.

证明.

证明. 首先由幽灵分量的定义, $a^{(n)}$ 是关于 $a_d$, $d\mid n$ 的整系数多项式, 将其记为 $g_n$, 并记 $g=(g_1,g_2,\dots )$; 又不难归纳证明 $a_n$ 是关于 $a^{(d)}$, $d\mid n$ 的 $\mathbb{Z}[1/n]$ 系数多项式, 同样将其记为 $h_n$, 并记 $h=(h_1,h_2,\dots )$. 则依定义在 $\mathbb{Q}$ 系数下有 $g\circ h=h\circ g=\mathrm{id}$. 具体计算知 $g(0)=h(0)=0$, $g(1,0,0,\dots )=(1,1,1,\dots )$, $h(1,1,1,\dots )=(1,0,0,\dots )$.

现如多项式 $S_1,S_2,\dots \in \mathbb{Q}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ]$ 满足 $S(x,y{)}^{(n)}=x^{(n)}+y^{(n)}$, $M_1,M_2,\dots \in \mathbb{Q}[x_1,x_2,\dots ]$ 满足 $M(x{)}^{(n)}=-x^{(n)}$, $P_1,P_2,\dots \in \mathbb{Q}[x_1,y_1,x_2,y_2,\dots ]$ 满足 $P(x,y{)}^{(n)}=x^{(n)}{y}^{(n)}$, 则把这三个等式两边作用 $h$ 得$$S(x,y)=h(g(x)+g(y)),M(x)=h(-g(x)),P(x,y)=h(g(x)g(y)).$$考虑第 $n$ 个分量, 便知 $S_n,M_n,P_n$ 都是关于 $x_d,y_d$, $d\mid n$ 的多项式. 此外, 由这三个等式以及 $g,h$ 互逆不难发现

•	$S(x,0)=S(0,x)=x$, $P((1,0,0,\dots ),x)=P(x,(1,0,0,\dots ))=x$;
•	$S(x,y)=S(y,x)$, $P(x,y)=P(y,x)$;
•	在 $\mathbb{Q}[x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2\dots ]$ 中有 $S(S(x,y),z)=S(x,S(y,z))$, $P(P(x,y),z)=P(x,P(y,z))$, $P(S(x,y),z)=S(P(x,z),P(y,z))$;
•	$S(x,M(x))=0$.

而由引理 2.12 与推论 2.14、2.15、2.16, 存在整系数的 $S,M,P$ 满足要求. 显然, 整系数多项式的等式, 只要作为有理系数多项式成立, 其本身就成立. 于是有对任一环 $R$, 大 Witt 环 $W(R)$ 确实关于 $S,P$ 构成环, 且由于 $S_n,M_n,P_n$ 只依赖下标整除 $n$ 的变量, 而集合 $N$ 关于整除封闭, 有截断 Witt 环 $W_N(R)$ 也确实关于 $S,P$ 构成环. 这样便得到命题的存在性. 唯一性则是因为有理系数等式$$S(x,y)=h(g(x)+g(y)),P(x,y)=h(g(x)g(y));$$它们保证满足条件的 $S,P$ 甚至在有理系数多项式中都是唯一的.

$\square$

推论 2.18. 如环 $R$ 以及子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 满足 $N$ 中元素在 $R$ 中都可逆, 那么 $W_N(R)\cong R^N$ 为一些 $R$ 的乘积.

证明.

证明. 命题 2.17 证明过程中的 $g$ 和 $h$ 给出互逆环同态 $W_N(R)\to R^N$ 与 $R^N\to W_N(R)$.

$\square$

3基本性质

命题 3.1. 对任一子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $R\mapsto W_N(R)$ 都是环范畴到自身的函子, 保持极限以及单射、满射. 如 $N$ 有限, 它还保持滤余极限. 对子集 $M\subseteq N$, 投影映射 $W_N(R)\to W_M(R)$ 是自然变换.

命题 3.2. 设 $\{N_i{\}}_{i\in I}$ 是 ${\mathbb{Z}}_{+}$ 一族子集的滤相系, 满足每个 $N_i$ 都关于整除封闭. 记 $N={\bigcup }_{i\in I}{N}_i$. 则$$W_N(R)=\underset{i\in I}{\lim }{W}_{N_i}(R).$$

命题 3.3. 设子集 $M,N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 都关于整除封闭且元素两两互素. 记 $MN=\{mn\in {\mathbb{Z}}_{+}\mid m\in M,n\in N\}$, 则它也关于整除封闭. 则对环 $R$, 有自然同构 $W_M(W_N(R))=W_{MN}(R)$.

Frobenius 映射和移位映射

Frobenius 映射和移位映射是 Witt 环自带的两族映射, 前者是自同态, 后者加性但不乘性. 下面对 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 以 $N/n$ 记 $\{m\in {\mathbb{Z}}_{+}\mid mn\in N\}$. 如 $N$ 关于整除封闭, 则 $N/n$ 亦然, 且 $N/n\subseteq N$.

定义 3.4 (移位映射). 设 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $R$ 是环. 以 $V_n$ 记映射 $W_{N/n}(R)\to W_N(R)$, $(a_i)\mapsto (a_{i/n})$, 称为移位映射; 准确地说, $$V_n((a_i{)}_{i\in N/n}{)}_j=\{\begin{array}{ll}{a}_i,& j=ni;\\ 0,& n\nmid j.\end{array}$$在 $p$-Witt 环的语境下, 移位映射仅指 $V_p$, 此时将其记作 $V$.

命题 3.5. 设 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n,m\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $R$ 是环, $a,b\in W_{N/n}(R)$, $c\in W_{N/mn}(R)$.

•	$V_n(a{)}^{(j)}=\{\begin{array}{ll}n{a}^{(i)},& j=ni;\\ 0,& n\nmid j;\end{array}$
•	$V_n(a)+V_n(b)=V_n(a+b)$;
•	$V_n(a)V_n(b)=n{V}_n(ab)$;
•	$V_m(V_n(c))=V_{mn}(c)$;

此外, $V_n{W}_{N/n}(R)\subseteq W_N(R)$ 是理想.

证明.

证明. 第一条由幽灵分量的定义显然. 欲证后几条, 只需对 $R$ 为整系数多项式环情形验证多项式等式. 此时由于 Witt 环函子保持单射, 可在有理系数下验证, 这样它们就是第一条的直接推论.

最后一句话是因为子集 $N^{\prime }=N\setminus n{\mathbb{Z}}_{+}$ 显然关于整除封闭, 而$$V_n{W}_{N/n}(R)=\ker (W_N(R)\to W_{N^{\prime }}(R)).$$$\square$

Frobenius 映射的构造就稍麻烦, 需像加法、乘法一样找整系数多项式. 此处沿用 构造与证明 小节中的记号.

引理 3.6. 固定 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$. 设 $F_{n,1},F_{n,2},\dots \in \mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots ]$ 满足$$\prod _{m=1}^n{f}_x({\zeta }_n^{m}t)=\prod _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-F_{n,i}{t}^{ni})\in 1+t^n\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots ][[t^n]],$$其中 ${\zeta }_n$ 表示 $n$ 次本原单位根. 则在 $\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots ]$ 中$$F_n(x)=(F_{n,1}(x_1,x_2,\dots ),F_{n,2}(x_1,x_2,\dots ),\dots )$$满足 $F_n(x{)}^{(i)}=x^{(ni)}$.

证明.

证明. 欲证式是整系数多项式等式, 故可在有理系数下验证. 条件表明$$\prod _{m=1}^n{f}_x({\zeta }_n^{m}t)=f_{F_n(x)}(t^n).$$两边取 $-t^n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}(t^n)}\log =-\frac{1}{n}t\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\log$ 得$$\sum _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{F}_n(x{)}^{(i)}{t}^{ni}=\frac{1}{n}\sum _{m=1}^n\sum _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}{x}^{(i)}({\zeta }_n^{m}t{)}^i=\sum _{i\in n{\mathbb{Z}}_{+}}{x}^{(i)}{t}^i,$$即 $F_n(x{)}^{(i)}=x^{(ni)}$.

$\square$

命题 3.7. 满足引理 3.6 要求的多项式列存在唯一, 且 $F_{n,i}$ 只关于 $x_d$, $d\mid ni$. 此外, 对 $x=(x_1,x_2,\dots ),y=(y_1,y_2,\dots )\in W(\mathbb{Z}[x_1,y_1,x_2,y_2\dots ])$ 以及任意整数 $m,n$,

•	$F_n(1)=1$;
•	$F_n(x+y)=F_n(x)+F_n(y)$;
•	$F_n(xy)=F_n(x)F_n(y)$;
•	$F_m(F_n(x))=F_{mn}(x)$;
•	$V_n(F_n(x)y)=x{V}_n(y)$;
•	$F_n(V_n(x))=nx$;
•	如 $m,n$ 互素, 则 $F_m(V_n(x))=V_n(F_m(x))$;

其中加法乘法指的是 Witt 环加法乘法.

证明.

证明. 注意引理 3.6 条件式的左边实为整系数且只关于 $t^n$, 所以由引理 2.12 知 $F_{n,i}$ 存在. 沿用命题 2.17 证明中的记号, 由 $F_n(x{)}^{(i)}=x^{(ni)}$ 知在 $\mathbb{Q}[x_1,x_2,\dots ]$ 中有 $F_n(x)=h(x^{(n)},x^{(2n)},\dots )$, 即知唯一性, 且 $F_{n,i}(x)=h_i(x^{(n)},x^{(2n)},\dots )$ 只依赖 $x^{(en)}$, $e\mid i$, 即只依赖 $x_d$, $d\mid ni$.

这些式子都是整系数多项式等式, 可在有理系数下验证. 这样它们就都是 $F_n(x{)}^{(i)}=x^{(ni)}$ 和命题 3.5 的简单推论.

$\square$

定义 3.8 (Frobenius 映射). 设 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, $R$ 是环. 以 $F_n$ 记映射 $W_N(R)\to W_{N/n}(R)$, $a\mapsto F_n(a)=(F_{n,i}(a){)}_{i\in N/n}$, 称为 Frobenius 映射. 由命题 3.7, 各 $F_n$ 都是环同态, 且满足该命题所述等式.

在 $p$-Witt 环的语境下, Frobenius 映射仅指 $F_p$, 此时将其记作 $F$.

命题 3.7 中 Frobenius 映射和移位映射的交换性只在下标互素时成立. 不过在 ${\mathbb{F}}_p$-代数情形也有 $F_p$ 和 $V_p$ 交换.

定理 3.9. 设 $p$ 为素数, $R$ 为 ${\mathbb{F}}_p$-代数. 则对 $a\in W(R)$ 有 $F_p(V_p(a))=V_p(F_p(a))=pa$. 此时 $F_p$ 还等于 $R$ 的 Frobenius 同态诱导的 $W(R)$ 自同态.

证明.

证明. 先证 $V_p(1)=p$. 为此只需考虑万有情形即 $R={\mathbb{F}}_p$. 此时相当于证明 $p\in W(\mathbb{Z})$ 的各分量 $p_n$ 满足$$p_n\equiv \{\begin{array}{ll}1(\mathrm{mod}p),& n=p;\\ 0(\mathrm{mod}p),& n\ne p.\end{array}$$对 $n$ 归纳. 由 $p^{(n)}=p$ 知$$n{p}_n=p-\sum _{d\mid n,d<n}d{p}_d^{n/d}.$$如 $p\nmid n$, 由归纳假设易知上式模 $p$ 余 $0$, 从而 $p_n$ 亦然. 如 $p\mid n$, 设 $n=pm$. 如 $m=1$, $n=p$, 上式给出 $p_p=1-p^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$. 如 $m>1$, 考虑上式右边各项. $d\ne p$ 时 $p_d\equiv 0(\mathrm{mod}p)$, $$v_p(d{p}_d^{n/d})=v_p(d)+\frac{n}{d}{v}_p(p_d)\ge v_p(d)+\frac{n}{d}>v_p(d)+v_p\left(\frac{n}{d}\right)=v_p(n);$$$d=p$ 时 $p_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, $$v_p(p-p{p}_p^{n/p})=1+v_p(1-p_p^{n/p})\ge 1+1+v_p\left(\frac{n}{p}\right)=1+v_p(n)>v_p(n);$$所以 $v_p(n{p}_n)>v_p(n)$, $p_n\equiv 0(\mathrm{mod}p)$.

于是由命题 3.7 便有 $V_p(F_p(a))=V_p(1)a=pa=F_p(V_p(a))$. 欲证后一句话, 只需验证引理 3.6 中的多项式列满足 $F_{p,i}\equiv x_i^p(\mathrm{mod}p)$. 由于 $p\mathbb{Z}=(1-{\zeta }_p)\mathbb{Z}[{\zeta }_p]\cap \mathbb{Z}$, 只需验证$$\prod _{m=1}^p{f}_x({\zeta }_p^{m}t)\equiv \prod _{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-x_i^p{t}^{pi})(\mathrm{mod}1-{\zeta }_p).$$这是显然的, 因为模 $1-{\zeta }_p$ 之后左边就是 $f_x(t{)}^p$, 也就是 ${\prod }_{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-x_i{t}^i{)}^p$, 自然同余于 ${\prod }_{i\in {\mathbb{Z}}_{+}}(1-x_i^p{t}^{pi})$.

$\square$

Teichmüller 代表元

Teichmüller 代表元是投影映射 $W(R)\to R$ 的一个右逆, 乘性但不加性.

定义 3.10 (Teichmüller 代表元). 对环 $R$, $a\in R$ 在 $W(R)$ 中的 Teichmüller 代表元, 记作 $[a]$, 指的是元素$$(a,0,0,\dots )\in W(R).$$对关于整除封闭的子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$, 该元素在 $W_N(R)$ 的像也称为 Teichmüller 代表元, 记作 $[a]$ 或 $[a{]}_N$.

命题 3.11. $a\mapsto [a]$ 是 $R$ 到 $W(R)$ 的乘法幺半群同态.

证明.

证明. 显然 $[1]=1$. 为证 $[ab]=[a][b]$, 只需考虑万有情形, 即 $R=\mathbb{Z}[x,y]$ 为多项式环, 验证多项式等式 $[xy]=[x][y]$. 此时由于 Witt 环函子保持单射, 可在有理系数下验证, 这样只需证 $[xy{]}^{(n)}=[x{]}^{(n)}[y{]}^{(n)}$. 直接计算容易发现两边都是 $x^n{y}^n$.

$\square$

Witt 环中的元素可用 Teichmüller 代表元和移位映射组合出来.

命题 3.12. 设 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 是对整除封闭的有限子集. 则对任一 $w\in W_N(R)$, 存在唯一 $(a_n{)}_{n\in N}\in R^N$ 使得$$w=\sum _{n\in N}{V}_n[a_n].$$$N$ 无限时, 把上式右边理解为在乘积拓扑下收敛, 也有同样的事情.

证明.

证明. 注意对 $n\notin N$ 及 $a\in R$, $V_n[a]$ 在 $W_N(R)$ 中的像是 $0$. 由此不难发现 $N$ 无限的情形是有限情形的推论. 下设 $N$ 有限.

对 $|N|$ 归纳. $|N|=0$ 时不用证. $|N|>0$ 时记 $n=\max N$, $N^{\prime }=N\setminus n$, 则 $N^{\prime }$ 对整除封闭. 对 $w\in W_N(R)$, 要说明使$$w=\sum _{i\in N}{V}_i[a_i]$$的元素组 $(a_i{)}_{i\in N}$ 存在唯一. 由归纳假设, 使两边在 $W_{N^{\prime }}(R)$ 的投影相等的 $(a_i{)}_{i\in N^{\prime }}$ 存在唯一. 尚需证明 $a_n$ 也存在唯一. 两边减去前述 ${\sum }_{i\in N^{\prime }}{V}_i[a_i]$, 右边剩下 $V_n[a_n]$, 左边是个在 $W_{N^{\prime }}(R)$ 投影为 $0$ 的 $W_N(R)$ 中元素. 于是 $a_n$ 显然存在唯一, 必须是该元素的第 $n$ 个坐标.

$\square$

4几何性质

本节是一些代数几何性质. 首先给出 Witt 环的一种逐次的构造方法.

命题 4.1. 设子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n\in N$, 满足 $N^{\prime }=N\setminus n$ 仍关于整除封闭. 则对任一环 $R$ 有生象环拉回图表$$W_N(R)R{W}_{N^{\prime }}(R)R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$其中纵向箭头是自然投影, 横向箭头是取第 $n$ 个幽灵分量, 即 $a\mapsto {\sum }_{d\mid n}d{a}_d^{n/d}$.

证明.

证明. 考虑交换图$$RR{W}_N(R)R{W}_{N^{\prime }}(R)R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n{V}_{n}n$$其左右两列都是纤维列, 所以下半方块是链复形拉回图表, 从而也是生象环拉回图表.

$\square$

命题 4.2 (局部化). 设子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭且有限, $R$ 是环, $S\subseteq R$ 是乘性子集. 记 $S$ 中元素的 Teichmüller 代表元之集为 $[S]$, 则它也是乘性子集. 此时有 $W_N(S^{-1}R)=[S{]}^{-1}{W}_N(R)$.

证明.

证明. 显然有自然映射 $[S{]}^{-1}{W}_N(R)\to W_N(S^{-1}R)$, 要证它是同构. 对 $|N|$ 归纳. $|N|=0$ 时这些环都是 $0$. $|N|>0$ 时取 $n=\max N$, 记 $N^{\prime }=N\setminus n$, 由归纳假设 $W_{N^{\prime }}(S^{-1}R)=[S{]}^{-1}{W}_{N^{\prime }}(R)$. 由命题 4.1, 只需证$$[S{]}^{-1}{W}_N(R)S^{-1}R[S{]}^{-1}{W}_{N^{\prime }}(R)S^{-1}R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$是拉回图表. 这是因为它是 $W(R)$-模拉回图表$$W_N(R)R{W}_{N^{\prime }}(R)R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$的 $[S]$-局部化, 局部化是正合的.

$\square$

接下来研究与平展映射相关的几何性质.

引理 4.3. 设子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n\in N$, 满足 $N^{\prime }=N\setminus n$ 仍关于整除封闭. 则对任一环 $R$, $W_N(R)$ 到 $R$ 的映射 $a\mapsto a^{(n)}$ 是整同态, 且如 $a\in W_N(R)$ 满足 $a^{(n)}=0$ 且 $a$ 在 $W_{N^{\prime }}(R)$ 的投影也是 $0$, 则 $a^2=na=0$.

证明.

证明. 注意对 $r\in R$ 有 $r^n=[r{]}^{(n)}$, 可得整性. 如 $a\in W_N(R)$ 在 $W_{N^{\prime }}(R)$ 的投影是 $0$, 则 $a=V_n(a_n)$, $a^{(n)}=n{a}_n$. 注意条件表明 $N/n=\{1\}$, 所以 $V_n$ 是 $R=W_1(R)$ 到 $W_N(R)$ 的加性映射. 现如 $a^{(n)}=0$, 则由 $V$ 的性质知 $na=n{V}_n(a_n)=V_n(n{a}_n)=V_n(0)=0$, $a^2=V_n(a_n{)}^2=n{V}_n(a_n^2)=V_n(n{a}_n^2)=V_n(0)=0$.

$\square$

注 4.4. 固定素数 $p$, 考虑 $p$-Witt 环. 在引理 4.3 中令 $N=\{1,p\}$, $n=p$, $R={\mathbb{F}}_p[x]$, $a=(0,x)\in W_2(R)$, 知 $a^2=pa=0$. 而对 $b=(b_0,b_1)\in W_2(R)$, $pb=(0,1)(b_0,b_1)=(0,b_0^p)$; 由此可见 $a\notin p{W}_2(R)$. 从而虽然 ${\mathbb{F}}_p[x]$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 上光滑, 但是 $W_2({\mathbb{F}}_p[x])$ 在 $W_2({\mathbb{F}}_p)=\mathbb{Z}/p^2$ 上甚至不平坦.

引理 4.5. 命题 4.1 中图表诱导的映射 $W_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N(R)}R\to R/nR$ 是同构.

注意该引理并不导出.

证明.

证明. 由 $W_{N^{\prime }}(R)=W_N(R)/V_n[R]$ 以及映射 $W_N(R)\to R$ 是幽灵分量 $a\mapsto a^{(n)}$, 有$$W_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N(R)}R=R/V_n[R{]}^{(n)}=R/nR,$$因为对 $r\in R$, $V_n[r{]}^{(n)}=nr$.

$\square$

引理 4.6. 设子集 $N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 关于整除封闭, $n\in N$. 以幽灵分量映射 $a\mapsto a^{(n)}$ 将 $R$ 视为 $W_N(R)$-代数. 则对角线理想 $\ker (R{\otimes }_{W_N(R)}R\to R)$ 局部幂零.

证明.

证明. 只需证其一组生成元幂零, 即对 $r\in R$ 证 $r\otimes 1-1\otimes r$ 幂零. 事实上可以证明 $(r\otimes 1-1\otimes r{)}^n=0$. 为此只需对任一不超过 $n$ 的自然数 $j$ 证明 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)r^j\in \mathrm{im}(W_N(R)\to R)$, 因为这样就有$$(r\otimes 1-1\otimes r{)}^n=\sum _{j=0}^n(-1{)}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)r^j\otimes r^{n-j}=1\otimes \sum _{j=0}^n\sum _{j=0}^n(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})r^n=0.$$记 $n$ 和 $j$ 的最大公约数为 $d$, 则只需证 $\frac{n}{d}\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$, 因为 $V_{n/d}[r^{j/d}{]}^{(n)}=\frac{n}{d}{r}^j$. 注意 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$ 和 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{j-1}\right)=\frac{j}{n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$ 都是整数, 由 Bezout 定理易知 $\frac{d}{n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$ 也是整数, 即 $\frac{n}{d}\mid \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)$.

$\square$

命题 4.7. 对环 $R$ 以 $\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(R)$ 记 $R$ 上平展代数的范畴. 则命题 4.1 中图表诱导范畴的拉回图表$$\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(W_N(R))\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(R)\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(W_{N^{\prime }}(R))\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n)$$

证明.

证明. 首先 $\acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(R{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n)\cong \acute{\mathsf{E}}\mathsf{t}(R/nR)$. 由引理 4.3, 图表上方和左边箭头合起来得到的映射 $W_N(R)\to W_{N^{\prime }}(R)\times R$ 是整同态, 且在谱上是满射, 于是平展代数可沿该映射下降. 由投影映射 $W_N(R)\to W_{N^{\prime }}(R)$ 是满射, $W_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N(R)}{W}_{N^{\prime }}(R)=W_{N^{\prime }}(R)$; 由引理 4.6, $R{\otimes }_{W_N(R)}R\to R$ 诱导平展代数范畴的同构; 所以在映射 $W_N(R)\to W_{N^{\prime }}(R)\times R$ 的下降数据中, $W_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N(R)}{W}_{N^{\prime }}(R)$ 和 $R{\otimes }_{W_N(R)}R$ 两部分都为平凡. 又由引理 4.5, $W_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N(R)}R=R/nR$, 即这一部分的下降数据是两个平展代数在 $R/nR$ 上等同. 合起来即得结论.

$\square$

定理 4.8. 设子集 $N^{\prime }\subseteq N\subseteq {\mathbb{Z}}_{+}$ 都有限且关于整除封闭, $R\to S$ 是平展同态, $R\to R^{\prime }$ 是环同态, 记 $S^{\prime }=S{\otimes }_R{R}^{\prime }$. 则

•	$W_N(R)\to W_N(S)$ 平展.
•	$W_{N^{\prime }}(S)=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}{W}_{N^{\prime }}(R)$.
•	按幽灵分量映射把 $R$ 和 $S$ 分别视为 $W_N(R)$ 和 $W_N(S)$ 上的代数, 也有 $S=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}R$.
•	$W_N(S^{\prime })=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}{W}_N(R^{\prime })$.

证明.

证明. 对 $|N|$ 归纳. $|N|=0,1$ 时平凡. 用归纳假设可设 $|N|-|N^{\prime }|=1$, $N=N^{\prime }\bigsqcup \{n\}$. 由归纳假设, $W_{N^{\prime }}(R)\to W_{N^{\prime }}(S)$ 平展. 对 $W_{N^{\prime }}(S)$, $S$, $S/nS$ 用命题 4.7, 可得平展 $W_N(R)$-代数 $B$, 沿投影映射和幽灵分量基变换分别为 $W_{N^{\prime }}(S)$ 与 $S$. 由命题 4.1, 交换图$$BS{W}_{N^{\prime }}(S)S{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$给出 $W_N(R)$-代数同态 $B\to W_N(S)$. 将 $W_N(R)$-模短正合列$$0\to R\to W_N(R)\to W_{N^{\prime }}(R)\to 0$$基变换到 $B$, 由 $B{\otimes }_{W_N(R)}R=B{\otimes }_{W_N(R)}{W}_{N^{\prime }}(R){\otimes }_{W_N^{\prime }(R)}R=W_{N^{\prime }}(S){\otimes }_{W_{N^{\prime }}(R)}R=S$ 得短正合列$$0\to S\to B\to W_{N^{\prime }}(S)\to 0$$于是同态 $B\to W_N(S)$ 为同构. 这样就有 $W_N(R)\to W_N(S)$ 平展, 且 $W_{N^{\prime }}(S)=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}{W}_{N^{\prime }}(R)$, 沿幽灵分量映射也有 $S=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}R$.

现将拉回图表$$W_N(R^{\prime })R^{\prime }{W}_{N^{\prime }}(R^{\prime })R^{\prime }{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$作基变换 $W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}-$, 由上一段所证以及归纳假设知$$W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}{W}_N(R^{\prime })S^{\prime }{W}_{N^{\prime }}(S^{\prime })S^{\prime }{\otimes }_{\mathbb{Z}}^L\mathbb{Z}/n$$也是拉回图表, 从而 $W_N(S^{\prime })=W_N(S){\otimes }_{W_N(R)}{W}_N(R^{\prime })$.

$\square$

5与形变理论的关系

本节固定素数 $p$, Witt 环指的是 $p$-Witt 环.

在环 $R$ 为特征 $p$ 完美时, 其 Witt 环结构简单, 亦可用形变理论作出. 下面的定理亦可当作 $R$ 完美时 Witt 环的定义, 它不依赖于前面繁杂的具体计算.

定理 5.1. 设 $R$ 为特征 $p$ 完美环. 则 $W(R)$ 是满足 $W(R)/p=R$ 的唯一 $p$-完备、$p$-无挠环, 且对任一 $p$-完备环 $A$, 使图表$$W(R)AR(A/p{)}_{\text{red}}$$交换的虚线箭头存在唯一.

证明.

证明. 先证存在唯一 $p$-完备 $p$-无挠环 $W$ 满足 $W/p=R$. 考虑余切复形 $L_{R/{\mathbb{F}}_p}$. 由余切复形的性质, Frobenius 同态在其上诱导映射为 $0$; 而 $R$ 完美, Frobenius 是同构; 于是 $L_{R/{\mathbb{F}}_p}=0$. 注意 ${\mathbb{F}}_p$ 是域, $R$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 上平坦. 现由形变理论便知对任一加厚 $T\to {\mathbb{F}}_p$, 存在唯一平坦 $T$-代数 $R_T$ 满足 $R_T{\otimes }_T{\mathbb{F}}_p=R$. 记 $R_n=R_{\mathbb{Z}/p^n}$, 不难发现 $W={\lim }_n{R}_n$ 满足要求, 且 $W/p^n=R_n$; 由完备性以及上一句话的唯一性可知 $W$ 唯一.

再证这样的 $W$ 满足定理后半句. 由完备性只需证对任一正整数 $n$, 使图表$$R_{n}A/p^{n}R(A/p{)}_{\text{red}}$$交换的虚线箭头存在唯一. 由余切复形的基变换, $L_{R_n/(\mathbb{Z}/p^n)}{\otimes }_{\mathbb{Z}/p^n}^L{\mathbb{F}}_p=L_{R/{\mathbb{F}}_p}=0$, 从而由 Nakayama 引理 $L_{R_n/(\mathbb{Z}/p^n)}=0$, 特别地 $R_n$ 在 $\mathbb{Z}/p^n$ 上形式平展. 而 $A/p^n\to (A/p{)}_{\text{red}}$ 是加厚, 故使图表$$\mathbb{Z}/p^{n}A/p^n{R}_n(A/p{)}_{\text{red}}$$交换的虚线箭头存在唯一, 此即欲证.

最后证 $W(R)$ 为 $p$-完备、$p$-无挠且 $W(R)/p=R$. 由定理 3.9, 对 $n\in \mathbb{N}$, $a\in W(R)$ 有 $V^n(F^n(a))=p^{n}a$, 且 $F$ 是 $W(R)$ 的自同构. 由此可见 $V^{n}W(R)=p^{n}W(R)$, 于是首先 $W(R)$ 为 $p$-完备, 其次由 $V$ 是单射亦知 $W(R)$ 为 $p$-无挠, 最后 $W(R)/p=W(R)/VW(R)=R$.

$\square$

6与 $\delta$-环的关系

本节固定素数 $p$, Witt 环指的是 $p$-Witt 环.

定理 6.1. $W(R)$ 有对 $R$ 函子性的 $\delta$-环结构, 使得 $R\mapsto W(R)$ 是 $\delta$-环范畴到环范畴的忘却函子的右伴随. 其 Frobenius 映射 $F$ 正是 $\delta$-环的自同态 $\phi$.

注 6.2. 于是 $W(R)$ 的自同态 $F$ 是 $W(R)/p$ 的 Frobenius 同态的提升. 这也解释了它为什么叫 Frobenius.

7与 $\lambda$-环的关系

本节 Witt 环指的是大 Witt 环.

定理 7.1. $W(R)$ 有对 $R$ 函子性的 $\lambda$-环结构, 使得 $R\mapsto W(R)$ 是 $\lambda$-环范畴到环范畴的忘却函子的右伴随.

8应用

9推广

10相关概念

•	$p$ 进整数
•	$\lambda$-环
•	$\delta$-环
•	de Rham–Witt 复形
•	Artin–Schreier 理论

术语翻译

Witt 环 • 英文 Witt ring • 德文 Witt-Ring • 法文 anneau de Witt

幽灵分量 • 英文 ghost component • 德文 Geisterkomponente • 法文 composante fantôme