用户: 遗忘的左伴随/代数几何/超覆盖

给定景 $\mathcal{C}$ 以及其上的 Abel 层 $\mathcal{F}$, 对于对象 $U\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 我们总是可以通过选取合适的内射消解 $\mathcal{F}[0]\to I^{\bullet }$ 来计算其上同调群 $H^i(U,\mathcal{F})=H^i(\Gamma (U,I^{\bullet }))$, 当然我们知道这实际上是在对 $\mathcal{F}\mapsto \mathcal{F}(U)$ 计算右导出函子. 但是在有些情况下 (比如计算凝聚上同调时), 写不出一个合适的内射解消, 这个时候就需要使用另一种手段来计算上同调群, 即超覆盖.

本文的叙述基本依照 [Stacks Project][01FX] 进行. 当然, 这需要一些单纯集知识, 可参考用户: 遗忘的左伴随/代数几何/单纯集

1半可表对象

我们首先进行一些符号上的说明, 使用 $\mathsf{SR}$ 表示半可表 (Semi-Representable).

定义 1.1 (半可表对象). 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 记 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 为如下定义的半可表对象所构成的范畴

1.	对象为一族对象 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, 且
2.	态射 $\{U_i{\}}_{i\in I}\to \{V_j{\}}_{j\in J}$ 由 $\alpha :I\to J$ 给出, 每个 $i\in I$ 都对应于 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f_i:U_i\to V_{\alpha (i)}$.

令 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 为 $\mathcal{C}$ 中的对象. 可以定义 $X$ 上半可表对象构成的范畴 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)=\mathsf{SR}({\mathcal{C}}_{/X})$.

注意到由此可能定义出一个 “大” 的范畴, 为此我们将 “限制”$X$ 的超覆盖所需的指标集 $I$ 的大小. 对于 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$, 可以对其进行变形后得到显式构造

1.	对象为一族态射 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 且
2.	态射 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}\to \{V_j\to X{\}}_{j\in J}$ 由映射 $\alpha :I\to J$ 给出, 每个 $i\in I$ 都对应于 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f_i:U_i\to V_{\alpha (i)}$.

不难看出具有遗忘函子 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)\to \mathsf{SR}(\mathcal{C})$.

定义 1.2. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴. 定义将半可表对象都对应为预层的函子 $F$ $$\begin{array}{rl}F:\mathsf{SR}(\mathcal{C})& \to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})\\ \{U_i{\}}_{i\in I}& \mapsto \coprod _{i\in I}{h}_{U_i}\end{array}$$其中 $h_U$ 表示对象 $U$ 对应的可表预层.

给定态射 $U\to X$, 可以得到对应可表预层的态射 $h_U\to h_X$. 因此可以得到 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 在 $F$ 下的像, 准确来说有以下图表很自然地, 我们来讨论 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中极限的存在性, 以及 $F$ 是否与极限可交换.

引理 1.3. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, $F:\mathsf{SR}(\mathcal{C})\to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})$ 为前文所述的函子, 则

1.	$\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 存在余积并且 $F$ 与之可交换.
2.	$F$ 与极限可交换.
3.	若 $\mathcal{C}$ 有纤维积, 则 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 有纤维积.
4.	若 $\mathcal{C}$ 中 (一对对象的) 积存在, 则 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中 (这对对象的) 积也存在.
5.	若 $\mathcal{C}$ 中有等子, 则 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中也有.
6.	若 $\mathcal{C}$ 中有终对象, 则 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中也有终对象.

令 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 则

1.	范畴 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 存在余积并且 $F$ 与之交换.
2.	若 $\mathcal{C}$ 有纤维积, 则 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 具有有限极限, 并且与 $F:\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)\to \mathrm{PSh}(\mathcal{C})/h_X$ 可交换.

证明.

证明.

1.	不难发现 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中对象 ${\left(\{U_{i_k}{\}}_{i_k\in I_k}\right)}_{k\in K}$ 的余积, 它同构于 $\{V_j{\}}_{j\in J}$ 其中 $J={\coprod }_{k\in K}{I}_k$, 对于 $j=i_k\in I_k$ 时,$V_j=U_{i_k}$. 不难发现$$F(\{V_j{\}}_{j\in J})=\coprod _{j\in J}{h}_{V_j}=\coprod _{k\in K}\coprod _{i_k\in I_k}{h}_{U_{i_k}}.$$因此 $F$ 显然与余积交换.
2.	不妨考虑 $\{U\}\in \mathsf{SR}(\mathcal{C})$, 即指标集为单点的情况. 不难发现对于半可表对象 $K\in \mathsf{SR}(\mathcal{C})$, ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{SR}(\mathcal{C})}(\{U\},K)=F(K)(U)$, 因此$$F(\underset{i\in I}{\lim }{K}_i)(U)=\mathrm{Hom}(\{U\},\underset{i\in I}{\lim }{K}_i)=\underset{i\in I}{\lim }\mathrm{Hom}(\{U\},K_i)=\underset{i\in I}{\lim }F(K_i)(U)$$这说明在预层上有 $F(\underset{i\in I}{\lim }{K}_i)=\underset{i\in I}{\lim }F(K_i)$(因为预层的极限是在截面一级上定义的), 因此 $F$ 与极限可交换.
3.	本文只给出 2 个对象的纤维积的情况, 多个对象的纤维积类似可证. 给定 $\alpha :\{U_i{\}}_{i\in I}\to \{V_j{\}}_{j\in J}$ 以及 $\beta :\{W_k{\}}_{k\in K}\to \{V_j{\}}_{j\in J}$, 便可以定义 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 层面的纤维积, 由 $\mathsf{SR}$ 与指标集之间的关系可以得到$$\{U_i\underset{V_j}{\times }{W}_k{\}}_{\begin{array}{c}(i,j,k)\in I\times J\times K\\ j=\alpha (i)=\beta (k)\end{array}}$$其中 $U_i\underset{V_j}{\times }{W}_k$ 就来自于 $\mathcal{C}$.
4.	不难发现 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中 $\{U_i{\}}_{i\in I}\times \{V_j{\}}_{j\in J}\simeq \{U_i\times V_j{\}}_{(i,j)\in I\times J}$, 而后就如前文一般.
5.	等子图表亦如前文讨论.
6.	若 $X$ 为 $\mathcal{C}$ 中的终对象, 考虑 $\{X\}\in \mathsf{SR}(\mathcal{C})$, 由于对于任意对象 $U\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 都有 ${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(U,X)=\{\ast \}$, 而 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 到 $\{X\}$ 的态射由 $\alpha :I\to \{\ast \}$ 给出, 每个 $i\in I$ 对应于 $\mathcal{C}$ 中态射 $f_i:U_i\to X$, 因此 $\{X\}$ 显然为终对象.
$\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 部分	该部分与前文证明并无本质区别, 只需将 $\{U_i{\}}_{i\in I}$ 替换为 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$.

$\square$

2超覆盖

接下来正式的介绍超覆盖这一概念, 不难发现 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 中的对象为 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 它可以模仿景中的覆盖, 这促使我们使用半可表对象之间的态射来代替景中的覆盖概念.

定义 2.1 (覆盖). 令 $\mathcal{C}$ 为景. 令 $f:(\alpha ,f_i):\{U_i{\}}_{i\in I}\to \{V_j{\}}_{j\in J}$ 为半可表对象范畴 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中的态射. 若对于每个 $j\in J$ 都有 $\{U_i\to V_j{\}}_{\begin{array}{c}i\in I\\ \alpha (i)=j\end{array}}$ 为景 $\mathcal{C}$ 中的覆盖, 则称 $f$ 为覆盖.
对于 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$, 若 $f\in \mathrm{Mor}(\mathsf{SR}(\mathcal{C},X))$ 在包含函子下的像为覆盖, 则称其为覆盖.

接下来验证一些常用的性质

引理 2.2. 令 $\mathcal{C}$ 为景.

1.	(加细为覆盖) $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中覆盖的复合仍为覆盖.
2.	(原像为覆盖) 若 $K\to L$ 为 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中的覆盖且 $L^{\prime }\to L$ 为态射, 则 $L^{\prime }\underset{L}{\times }K$ 存在且基变换 $L^{\prime }\underset{L}{\times }K\to L$ 为覆盖.
3.	(乘积为覆盖) 若 $\mathcal{C}$ 中存在一对对象的乘积, 且 $A\to B$, $K\to L$ 为 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中的覆盖, 则 $A\times K\to B\times L$ 为覆盖.

对于 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 则 1. 和 2. 在 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 中成立, 而 3. 要求 $\mathcal{C}$ 具有纤维积.

证明.

证明.

1.	由 $\mathcal{C}$ 为景可知景中覆盖的复合仍为景, 因此由定义不难推知 $\mathsf{SR}(\mathcal{C})$ 中覆盖的复合仍为覆盖.
2.	由定义可知 $L^{\prime }\underset{L}{\times }K$ 的存在性, 而后说明 $L^{\prime }\underset{L}{\times }K\to L$ 为覆盖, 不妨将 $L^{\prime }$, $L$ 与 $K$ 分别写为 $\{U_i{\}}_{i\in I}$, $\{V_j{\}}_{j\in J}$ 以及 $\{W_n{\}}_{n\in N}$, 因此 $L^{\prime }\underset{L}{\times }K\to L$ 为覆盖相当于在说对于每个 $j\in J$ 都有$$U_i\underset{V_j}{\times }{W}_n\to V_j$$为覆盖, 由 $K\to L$ 为覆盖可知对于任意 $j\in J$ 都有 $W_n\to V_j$($\beta (k)=j$, 其中 $\beta :N\to J$ 给出态射 $K\to L$) 为 $\mathcal{C}$ 中的覆盖, 而 $K\to L$ 给出态射 $U_i\to V_j$, 从而利用景的定义可知 $U_i\underset{V_j}{\times }{W}_n\to V_j$ 为覆盖.
3.	将 $A\times K\to B\times L$ 拆分为$$A\times K\to B\times K\to B\times L$$因此, 这事实上是覆盖的基变换的复合.
4.	最后一个命题只需要注意到 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)=\mathsf{SR}({\mathcal{C}}_{/X})$ 即可.

$\square$

在继续讨论之前, 我们需要给出一个涉及余骨架构造的引理.

定义 2.3 ($k$-截断单纯对象). 一个 $k$-截断单纯对象是指反变函子 $({\Delta }_{\le k}{)}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$, 其中 ${\Delta }_{\le n}$ 表示 $\Delta$ 中所有小于等于 $[k]$ 的对象 (即 $[0],\cdots ,[k]$) 构成的全子范畴. 全体 $k$-截断对象构成的范畴记为 ${\mathsf{s}}_{\le k}(\mathcal{C})$.

不难看出 $k$-骨架就可以将一般的单纯对象截断称 $k$-截断单纯对象, 或者说骨架函子就是将单纯对象 $U$ 限制到子范畴 ${\Delta }_{\le k}$ 的截断函子$${\mathrm{sk}}_k:\mathsf{s}(\mathcal{C})\to {\mathsf{s}}_{\le k}(\mathcal{C})$$从而余骨架可以刻画为函子$${\mathrm{cosk}}_k:{\mathsf{s}}_{\le k}(\mathcal{C})\to \mathsf{s}(\mathcal{C})$$

引理 2.4. 若范畴 $\mathcal{C}$ 具有有限极限, 则对于每个 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 都有余骨架 ${\mathrm{cosk}}_k$ 存在. 此外, 对于 $k$-截断的单纯对象 $U$, 考虑其余骨架 ${\mathrm{cosk}}_k(U)$, 它由以下公式确定$$({\mathrm{cosk}}_k(U){)}_n=\underset{({\Delta }_{/[n]}{)}_{\le k}^{\mathrm{op}}}{\lim }U(n)$$并且对于 $\phi :[n]\to [n^{\prime }]$, 映射 ${\mathrm{cosk}}_{k}U(\phi )$ 由 $U(n^{\prime })\circ \bar{\phi }=U(n)$ 所确定.

证明. 见 [Stacks Project][0183].

$\square$

因此若 $\mathcal{C}$ 有纤维积, 则根据引理:1.3 可知 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 中具有有限极限, 即存在截断的单纯对象的余骨架.
现在, 来介绍超覆盖的概念:

定义 2.5 (超覆盖). 令 $\mathcal{C}$ 是具有纤维积的景. 令 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$ 为对象, $X$ 上的一个超覆盖指 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 中的单纯对象 $K$, 满足

1.	对象 $K_0$ 为 $\mathcal{C}$ 中 $X$ 上的覆盖.
2.	对于 $n\ge 0$, 典范态射$$K_{n+1}\to ({\mathrm{cosk}}_n{\mathrm{sk}}_{n}K{)}_{n+1}$$为前文定义的覆盖.

例 2.6 (景上的单纯对象作为超覆盖). 令 $\mathcal{C}$ 为具有纤维积的景. 令 $X\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$. 令 $U$ 为 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象. 假设有扩充$$a:U\to X$$此时考虑 $\mathsf{SR}(X)$ 中的单纯对象 $K$, 且满足 $K_n=\{U_n\to X\}$. 则 $K$ 是 $X$ 的超覆盖当且仅当其满足以下条件:

1.	$\{U_0\to X\}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的覆盖.
2.	$\{U_1\to U_0\underset{X}{\times }{U}_0\}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的覆盖.
3.	$n\ge 1$ 时 $\{U_{n+1}\to ({\mathrm{cosk}}_n{\mathrm{sk}}_{n}U{)}_{n+1}\}$ 为 $\mathcal{C}$ 的覆盖.

事实上, 不难发现我们事实上在覆盖上一次覆盖中相交的地方.

例 2.7 ($\check{\text{C}}$ech 超覆盖). 令 $\mathcal{C}$ 为具有纤维积的景, 令 $\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$ 为 $\mathcal{C}$ 中的覆盖, 令 $K_0=\{U_i\to X{\}}_{i\in I}$, 则其为 $\mathsf{SR}(\mathcal{C},X)$ 中的 $0$-截断单纯对象. 因此, 我们可以构造$$K={\mathrm{cosk}}_0(K_0).$$不难发现 $K$ 显然满足超覆盖定义的第一条

参考文献

[Stacks Project]

The Stacks Project Authors. (2018) Stacks Project.