用户: 遗忘的左伴随/代数几何/单纯集

1基础结构

尽管我很想说我们将不再回顾单纯集理论 (因为发现香蕉空间的词条确实不够完备), 但是为了文章的完备性还是稍微写一下. 该部分直接来自 [刘欧 InfCat] 中已经写了的部分, 见 overleaf 在不引起歧义的情况下单纯集 $X_{\bullet }$ 写作 $X$.
读者应当知道米田嵌入具有稠密性, 或者见 [Land]Lemma 1.1.26.,[李文威卷二] 定理 A.1.3. 本文将不再证.

定义 1.1 (单纯形范畴). 令 $\Delta$ 为以下资料所构成的范畴:

•	对象: 全序集 $[n]=\{0<1<\cdots <n-1<n\}$.
•	态射:$[m]$ 到 $[n]$ 的保序映射.

将 $\Delta$ 称为单纯形范畴 (simplex category) 或简称单形范畴.

注 1.2. 可以发现单纯范畴中任意态射 $[l]\to [n]$ 均可唯一分解为保序满射和保序单射的合成$$[l]\twoheadrightarrow [m]\hookrightarrow [n],n\ge m\le l,$$而如上的单射 (或满射) 又可以拆解为片段, 使得每步恰好遗漏一个元素 (或恰好合并两个元素); 换言之, 所有态射均可分解为

•	面态射, ${\delta }^i={\delta }_n^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$, $0\le i\le n$, 仅仅遗漏 $i\in [n]$.
•	退化态射, ${\sigma }^j={\sigma }_n^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$, $0\le j\le n$, 取两次 $j\in [n]$ 的保序满射.

直观一点的看, 面态射可以视为为将一个面嵌入到单形中 (或者说取出一个面), 而退化态射可以被视为通过增加了一些恒等态射作为 “面” 来得到更高阶的单形, 事实上可以将这些 “面” 去掉, 并不会影响单形的信息, 这种单形就叫做退化单形.

警告. 注意单纯形范畴不是单纯范畴, 单纯范畴将在后文进行定义.

而后, 定义单纯对象

定义 1.3 (单纯对象). 给定范畴 $\mathcal{C}$,

•	其中的单纯对象 (simplicial object) 意谓函子 ${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$, 全体单纯对象构成的范畴为 $\mathsf{s}(\mathcal{C})$.
•	余单纯对象 (cosimplicial object) 意谓函子 $\Delta \to \mathcal{C}$, 全体余单纯对象构成的范畴为 $\mathsf{cs}(\mathcal{C})$.

定义 1.4 (单纯集). 当定义 1.3 中 $\mathcal{C}$ 被替换为集合范畴 $\mathsf{Set}$ 时, 得到的单纯对象称为单纯集 (simplicial set). 全体单纯集构成的范畴记为 $\mathsf{sSet}$.

注 1.5 (面态射与退化态射). 不难发现面态射 ${\delta }_n^i:[n-1]\hookrightarrow [n]$ 和退化态射 ${\sigma }_n^j:[n+1]\twoheadrightarrow [n]$ 映射到单纯对象 $X$ 中则会得到反向的态射 $d_n^i:X_n\to X_{n-1}$ 以及 $s_n^j:X_n\to X_{n+1}$.

我们将 $X_n$ 中的元素称为 $X$ 中的 $n$-单形 (simplex).

定义 1.6 (退化单形). 对于单纯对象 $X$ 中的 $n$-单形 $\sigma$ , 若其为某个 $s_{n-1}^j$ 的像, 则称其为退化 (degenerate) 的, 若其不为退化的, 则称为非退化.

注 1.7.

1.	若 $f:X\to Y$ 为单纯集间的态射, 若 $\sigma$ 为 $X$ 中退化 $n$-单形, 则 $f(\sigma )$ 为 $Y$ 中退化 $n$-单形, 当且仅当 $f$ 为单态射时反过来成立.
2.	令 $f:X\to Y$ 为单纯集间的态射, 若 $Y$ 中所有非退化单形均在 $f$ 的像中, 则 $f$ 是满态射.

定义 1.8 (标准 $n$-单形). 对所有 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 记 ${\mathrm{Hom}}_{\Delta }(-,[n]):{\Delta }^{op}\to \mathsf{Set}$ 确定的单纯集为 ${\Delta }^n$, 称为标准 $n$-单形 (standard n-simplex).

注 1.9. 因此 $({\Delta }^n{)}_m={\mathrm{Hom}}_{\Delta }([m],[n])$ 是全体保序映射 $[m]\to [n]$. $\varphi :[m]\to [m^{\prime }]$ 诱导的 $({\Delta }^n{)}_{m^{\prime }}\to ({\Delta }^n{)}_m$ 正是映射的拉回 ${\varphi }^{\ast }:f\mapsto f\varphi$.

通过标准 $n$-单形, 我们可以勾连 $\mathsf{sSet}$ 与 $\mathsf{Top}$ 得到我们熟知的单形. 记 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 的有序基为 $e_0,\cdots ,e_n$. 定义它的顶点通过 $i\leftrightarrow e_i$ 由 $0,\cdots ,n$ 标号, 其内部带有标准定向, 使 $e_1-e_0$, $\cdots$ , $e_n-e_{n-1}$ 处处给出正向有序基.

任意保序映射 $f:[m]\to [n]$ 都诱导映射$$\begin{array}{rl}|f|:|{\Delta }^m|& ⟶|{\Delta }^n|\\ \sum _{i=0}^m{y}_i{e}_i& ⟼\sum _{i=0}^n{y}_i{e}_{f(i)}.\end{array}$$当 $f$ 非满时, $|f|$ 的像落在边界. 可用嵌入 $|d^i|:|{\Delta }^{n-1}|\to |{\Delta }^n|$ 比较 $|{\Delta }^{n-1}|$ 内部的定向和 $|{\Delta }^n|$ 在其边界上诱导的定向: 行列式的常规练习可知两者相差 $(-1{)}^i$. 因此得到函子$$|-|:\Delta \to \mathsf{Top}\{\begin{array}{c}\text{对象}[n]\mapsto |{\Delta }^n|\\ \text{态射}f\mapsto |f|\end{array}$$依据可以将其延拓为 $\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$ 的函子, 称其为几何实现 (geometric realization).

定义 1.10 (几何实现函子). 函子 $|-|:\mathsf{sSet}\to \mathsf{Top}$ 定义如下: 设 $X$ 为单纯集, 则$$|X|:=\underset{n,x}{\mathrm{colim}}|{\Delta }^n|,$$其中 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 而 $\sigma \in X_n$ 为 $n$-单形, 这些资料 $([n],\sigma )$ 形成范畴, 使得从 $([n],\sigma )$ 到 $([m],\delta )$ 的态射无非是让交换的 $f\in {\mathrm{Hom}}_{\Delta }([n],[m])$, 或者等价地说, 要求 $f^{\ast }:X_m\to X_n$ 满足 $f^{\ast }(\delta )=\sigma$.

注 1.11. 可以发现几何实现给出 $|-|:\Delta \to \mathsf{Top}$ 沿 $\Delta \to \mathsf{sSet}$ 的左 Kan 延拓. 此外由于几何实现为归纳极限, 可以拓扑的给出其显式表示, 即$$|X|=\frac{{⨆}_{[n]\in \Delta }{X}_n\times |{\Delta }^n|}{(f^{\ast }(y),t)\sim (y,|f|(t))}$$其中 $f:[m]\to [n]$, 而 $|f|$ 为其对应的几何实现后的态射, 在 [李文威卷二]p.409 中有更加详细的描述.

可以定义出几何实现的右伴随.

定义 1.12 (奇异集函子). 对于任意拓扑空间 $E$, 定义单纯形集 $\mathrm{Sing}(E)$ 使得$$\mathrm{Sing}(E{)}_n:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(|{\Delta }^n|,E),n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0},$$而 $d_i:\mathrm{Sing}(E{)}_n\to \mathrm{Sing}(E{)}_{n-1}$(或 $s_j\mathrm{Sing}(E{)}_n\to \mathrm{Sing}(E{)}_{n+1}$) 是沿着 $|d^i|:|{\Delta }^{n-1}|\to |{\Delta }^n|$(或 $|s^j|:|{\Delta }^{n+1}|\to |{\Delta }^n|$) 的拉回, 称之为 $E$ 对应的奇异单纯集 (singular simplicial set). 这给出函子$$\mathrm{Sing}:\mathsf{Top}\to \mathsf{sSet}.$$

不难发现奇异集函子就正是奇异同调所使用的奇异复形.

定理 1.13. 几何实现是奇异集函子的左伴随, 换言之, 有一一对应其中 $X$ 为单纯集而 $E$ 为拓扑空间.

证明.

证明. 由于 $|X|=\underset{(n,x)}{\mathrm{colim}}|{\Delta }^n|$. 因此由极限泛性质立刻得到$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(|X|,E)\simeq \underset{([n],\sigma )}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Top}}(|{\Delta }^n|,E)=\underset{(n,x)}{\lim }\mathrm{Sing}(E{)}_n.$$不难发现后者有以下同构$$\underset{([n],\sigma )}{\lim }\mathrm{Sing}(E{)}_n\stackrel{\sim }{\to }\underset{([n],\sigma )}{\lim }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Delta }^n,\mathrm{Sing}(E))$$再由推论 1.14 以及极限泛性质立刻得到证明成立.

$\square$

推论 1.14. 对于任意一个单纯集 $X$ 都有$$X\simeq \underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{/X}}{\mathrm{colim}}{\Delta }^n.$$

2连通性

定义 2.1 (直和项). 令 $X$ 为单纯集且 $X^{\prime }\subset X$ 为其子单纯集. 若 $S$ 可以分解为余积 $S^{\prime }\bigsqcup S^{\prime \prime }$, 其中 $S^{\prime \prime }\subset S$ 为子单纯集, 则 $S^{\prime }$ 称为 $S$ 的直和项.

通过直和项, 类比拓扑空间中连通性的定义, 可以得到单纯集连通的概念:

定义 2.2. 令 $X$ 为单纯集, 若 $X$ 的直和项不是自己就是空集, 则称 $X$ 是连通的.

例 2.3. 标准 $n$-单形 ${\Delta }^n$ 就是连通的.

定义 2.4 (连通分支). 令 $X$ 为单纯集. 考虑在 $0$-单形构成的 $X_0$ 上的关系 $R$: 对于顶点 $x,y\in X_0$, $xRy$ 当且仅当存在 1-单形 $f\in X_1$ 使得 $d_0(f)=x$ 且 $d_1(f)=y$(这种关系自反但是一般来说既不传递也不对称), 我们考虑由其生成的等价关系 $\sim$. 而后定义 ${\pi }_0(X)$ 为$${\pi }_0(X)=X_0/\sim$$

命题 2.5.

1.	单纯集的连通性在有限乘积下是稳定的.
2.	连通分支函子 ${\pi }_0:\mathsf{sSet}\to \mathsf{Set}$ 保有限乘积.

证明.

证明. 见 [Kerodon][00GW] 以及 [00GX].

$\square$

3维数与骨架

定义 3.1 (单纯集的维数). 令 $X$ 为单纯集而 $k$ 为整数, 若对于每个 $n>k$ 的 $n$-单形 $\sigma$, 其都为退化单形, 则称单纯集 $X$ 的维数小于等于 $k$, 若 $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$ 且 $X$ 的维数不小于等于 $k-1$ 则称 $X$ 的维数为 $k$.

例 3.2.

1.	对于 $n\ge 0$, 标准单形 ${\Delta }^n$ 的维数为 $n$.
2.	对于余积 $X=⨆X(\alpha {)}_{\alpha \in \mathcal{A}}$, 其维数小于等于 $k$ 当且仅当每个 $X(\alpha )$ 的维数小于等于 $k$.

注 3.3. 令 $f:X\twoheadrightarrow Y$ 为单纯集间的满射, 则若 $X$ 的维数小于等于 $k$, 则 $Y$ 的维数亦如此.

命题 3.4. 令 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 为单纯集间的态射, 则 $\sigma$ 可以被分解为复合$${\Delta }^n\stackrel{\alpha }{\to }{\Delta }^m\stackrel{\tau }{\to }X,$$其中 $\alpha$ 对应于 $[n]\twoheadrightarrow [m]$ 而 $\tau$ 为 $X$ 的 $m$-非退化单形, 且分解唯一.

证明.

证明. 见 Kerodon [0014].

$\square$

定理 3.5. 令 $k$ 为一个整数且 $X$ 为一个单纯集, 则以下条件等价:

1.	单纯集 $X$ 的维数小于等于 $k$.
2.	单纯集 $X$ 可以被视为归纳极限 $\underset{J\in \mathcal{J}}{\mathrm{colim}}X(J)$ 其中 $X(J)$ 的维数小于等于 $k$.
3.	单纯集 $X$ 可以被视为归纳极限 $\underset{J\in \mathcal{J}}{\mathrm{colim}}X(J)$ 其中 $X(J)$ 为维数小于等于 $k$ 的标准单形.
4.	典范态射$$\underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{/X,\le k}}{\mathrm{colim}}{\Delta }^n\to X$$为单纯集的同构.

证明.

证明.

4. $\Rightarrow$ 3.	显然.
3. $\Rightarrow$ 2.	由于 ${\Delta }^n$ 的维数为 $n$, 因此若满足 3. 则自动满足 2..
2. $\Rightarrow$ 1.	由余积维数性质可知 ${⨆}_{J\in \mathcal{J}}X(J)$ 的维数小于等于 $k$, 并且由归纳极限定义可知余积到归纳极限有个典范满态射, 注记 1.7 说明 $X$ 的维数小于等于 $k$.
1. $\Rightarrow$ 4.	由推论 1.14 可知$$X\simeq \underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{/X}}{{\Delta }^n}.$$而后由命题 3.4 以及 $X$ 的维数小于等于 $k$ 可知可以约化到 4. 的情况.

$\square$

接下来, 根据维数, 定义出单纯集的骨架. 此外, 骨架这一概念也可以直接地推广到一般的单纯对象上.

定义 3.6 (骨架). 令 $X$ 是单纯集且令 $k$ 为整数. 对于每个整数 $n$, 令 ${\mathrm{sk}}_k(X{)}_n$ 表示 $X_n$ 中满足以下关系的 $n$-单形 $\sigma :{\Delta }^n\to X$:

(*)	$\sigma$ 可以分解为$${\Delta }^n\to {\Delta }^m\stackrel{\tau }{\to }X$$其中 $m\le k$.

不难发现 $\{{\mathrm{sk}}_k(X{)}_n\subset X_n\}$ 在面态射和退化态射下是稳定的, 因此这定义出了一个单纯子集 ${\mathrm{sk}}_k(X)\subset X$. 将其称为 $X$ 的 $k$-骨架.

例 3.7. 对于每个单纯集 $X$, 若 $k<0$ 则 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 为空集.

可以由定义得到一些简单的观察, 首先给出一些解释:

事实 3.8. 考虑子范畴 ${\mathcal{C}}_0\subset \mathcal{C}$, 由嵌入函子诱导的拉回$${\iota }^{\ast }:\mathrm{Fct}(\mathcal{C},\mathcal{D})\to \mathrm{Fct}({\mathcal{C}}_0,\mathcal{D})$$具有左 (Kan 延拓) 伴随 ${\iota }_{!}$ 以及右 (Kan 延拓) 伴随 ${\iota }_{\ast }$, 依据 Kan 延拓定义显示写出为$${\iota }_{!}(F)(x)=\underset{c\in ({\mathcal{C}}_0{)}_{/x}}{\mathrm{colim}}F(c)$$以及$${\iota }_{\ast }(F)(x)=\underset{c\in ({\mathcal{C}}_0{)}_{x/}}{\lim }F(c)$$

注 3.9.

1.	考虑嵌入 $\iota :{\Delta }_{\le k}\subset \Delta$ 回忆嵌入的 Kan 延拓可知 $k$-骨架 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 实际上为 ${\iota }_{!}{\iota }^{\ast }(X)$. 同理可以定义余骨架 ${\mathrm{cosk}}_k(X):={\iota }_{\ast }{\iota }^{\ast }(X)$, 显式写出为$${\mathrm{cosk}}_n(X{)}_k={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\mathrm{sk}}_n({\Delta }^k),X).$$. 不难发现 $\mathrm{cosk}$ 为 $\mathrm{sk}$ 的右伴随.
2.	对于 $m,n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 若 $m\le n$ 则 ${\mathrm{sk}}_m(X)\subset {\mathrm{sk}}_n(X)$.
3.	对于 $n\le k$, 则 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 中包含了 $X$ 的所有 $n$-单形. 特别地 ${\bigcup }_k{\mathrm{sk}}_k(X)=X$.
4.	若 $\sigma$ 为 $X$ 的 $n$-非退化单形. 则 $\sigma \in {\mathrm{sk}}_k(X)$ 当且仅当 $n\le k$.

命题 3.10. 令 $X$ 为单纯集而 $k$ 为整数, 则

1.	${\mathrm{sk}}_k(X)$ 的维数小于等于 $k$.
2.	对于每个维数小于等于 $k$ 的单纯集 $T$, 其与嵌入 ${\mathrm{sk}}_k(X)\hookrightarrow X$ 诱导出双射$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(T,{\mathrm{sk}}_k(X))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(T,X)$$换句话说任意维数小于等于 $k$ 的单纯集 $T$, 态射 $T\to X$ 的像落在 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 内.

证明.

证明. 显然.

$\square$

推论 3.11. 将 $T$ 换为 $X$ 上维数小于等于 $k$ 的子单纯集可以得到 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 是 $X$ 中维数小于等于 $k$ 的最大的单纯集.

结合定理 3.5 可知 ${\mathrm{sk}}_k(X)\simeq \underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{X,\le k}}{\mathrm{colim}}{\Delta }^n$.

推论 3.12. 对于每个整数 $k$, 骨架函子 ${\mathrm{sk}}_k:\mathsf{sSet}\to \mathsf{sSet}$ 保小余极限.

证明.

证明. 令 $X:\mathcal{J}\to \mathsf{sSet}$ 为单纯集图表, 只需要说明$$\theta :\underset{J\in \mathcal{J}}{\mathrm{colim}}{\mathrm{sk}}_k(X(J))\simeq {\mathrm{sk}}_k(\underset{J\in \mathcal{J}}{\mathrm{colim}}X(J))$$由定理 3.5 以及命题 3.10 可知两侧维数均小于等于 $k$, 而后对由注记 3.9 以及 ${\mathrm{sk}}_k(X)\simeq \underset{([n],\sigma )\in {\Delta }_{X,\le k}}{\mathrm{colim}}{\Delta }^n$ 可知 $\theta$ 对 $n\le k$ 的单形构成双射.

$\square$

单纯形上的常见子结构

接下来构造单纯集的一些常见子结构, 并展现其示意图.

定义 3.13 (${\Delta }^n$ 的边界). 令 $n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$, 且令 ${\Delta }^n$ 为标准 $n$-单形. 令 $\partial {\Delta }^n$ 表示 ${\Delta }^n$ 的 $(n-1)$-骨架. 更具体地说$$(\partial {\Delta }^n{)}_m:=\{f\in \mathrm{Hom}([m],[n]):\mathrm{im}(f)\ne [n]\}$$

可以探讨 $\partial {\Delta }^k$ 与 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 的关系. 用 $X_k^{\mathrm{nd}}$ 表示所有 $X$ 中的非退化 $k$-单形构成的集合. 每个元素 $\sigma \in X_k^{\mathrm{nd}}$ 都确定了一个映射 ${\Delta }^k\to {\mathrm{sk}}_k(S)$. 由于边界 $\partial {\Delta }^k\subset {\Delta }^k$ 维数小于等于 $k-1$, 因此 $\sigma$ 将 $\partial {\Delta }^k$ 映射到 $(k-1)$-骨架 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)$ 中.

命题 3.14. 令 $X$ 为单纯集, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$. 则前文的构造确定了一个推出

证明.

证明. 只需要证明

(*)	令 $\tau$ 为 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 中不包含在 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)$ 里的 $n$-单形. 则 $\tau$ 有唯一分解$${\Delta }^n\stackrel{\alpha }{\to }{\Delta }^k\stackrel{\sigma }{\to }X$$其中 $\sigma$ 是 $X$ 的非退化单形且 $\alpha$ 不经过边界 $\partial {\Delta }^k$(即 $\alpha$ 对顶点是满的).

由命题 3.4 可知存在唯一分解 ${\Delta }^n\stackrel{\alpha }{\to }{\Delta }^m\stackrel{\sigma }{\to }X$, 其中 $\alpha$ 为满射, 且 $\sigma$ 非退化.$\tau$ 属于 ${\mathrm{sk}}_k(S)$ 满足 $m\le k$, 根据我们的假设 $\tau$ 不在 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(S)$ 中可知 $m=k$.

$\square$

我们发现, 骨架是一层层叠起来的 (也可以对应到几何实现上), 而 CW 复形也是如此, 因此寻求两者之间的联系.

引理 3.15. 单纯集的几何实现是一个 CW-复形.

证明.

证明. 给定单纯集 $X$, 考虑 $k$-骨架的几何实现. 由于几何实现为奇异集函子的左伴随, 而左伴随保 $\mathrm{colim}$. 而 ${\mathrm{sk}}_k(X)$ 实际上为推出 ${\mathrm{sk}}_{k-1}(X)\bigsqcup _{{⨆}_{\sigma \in X_k^{\mathrm{nd}}}\partial {\Delta }^k}{⨆}_{\sigma \in X_k^{\mathrm{nd}}}{\Delta }^k$ 实际上为归纳极限, 因此$$|{\mathrm{sk}}_k(X)|=|{\mathrm{sk}}_{k-1}(X)|\bigsqcup _{\left|{⨆}_{\sigma \in X_k^{\mathrm{nd}}}\partial {\Delta }^k\right|}\left|\underset{\sigma \in X_k^{\mathrm{nd}}}{⨆}{\Delta }^k\right|$$. 而 ${\mathrm{sk}}_0(X)$ 为离散点集, 再使用 $|\partial {\Delta }^n|\simeq S^{n-1}$¹, $|{\Delta }^n|={\mathbb{D}}^n$ 即可观察出确为 CW 复形结构.

$\square$

接下来我们讲述另一个重要的子结构.

定义 3.16. 对于 $0\le k\le n$ 定义 ${\Delta }^n$ 的子函子 ${\Lambda }_k^n$ 为$$({\Lambda }_k^n{)}_m:=\{f\in \mathrm{Hom}([m],[n]),\mathrm{im}(f)\not\supset [n]\setminus \{k\}\},m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$$对 $k=0,n$ 时, 分别称为左 (left), 右 (right) 尖角, 统称外尖角 (outer horm), 而 $1\le k\le n-1$ 时, 称为内尖角 (inner horn).

在 $n=2,k=0$ 时, ${\Delta }^2$, $\partial {\Delta }^2$, ${\Lambda }_0^2$ 可以表为这解释了为什么说 $\partial {\Delta }^n\simeq S^{n-1}$. 此外, 可以发现

命题 3.17. 单纯集范畴 $\mathsf{sSet}$ 中有以下图表, 上下两半分别交换 ($0\le i<j\le n$) 其中 $⨆$ 在 $\mathsf{sSet}$ 中逐项选取, 而 ${\iota }_{i<j}$(或 ${\iota }_i$) 意谓向第 $i<j$(或第 $i$) 项的嵌入; 则有图表交换且中间部分为余等子 $\mathrm{coker}$.
类似地, 对 $0\le k\le n$ 也有中间项也为 $\mathrm{coker}$.

证明.

证明. 验证即可.

$\square$

我们也可以将其视为 $\partial {\Delta }^n$ 和 ${\Lambda }_k^n$ 在 “流水线” 上的拼装过程, 当然我们可以将其等价地表述为:

推论 3.18. 令 $0\le i\le n$ 为整数且 $n>0$ 对于任意单纯集 $S$, 态射$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}({\Lambda }_k^n,S)& \to (S_{n-1}{)}^n\\ f& \mapsto \{f\circ {\delta }_n^j{\}}_{0\le j\le n,j\ne i}\end{array}$$为单射, 其像为 “不完全” 序列$$({\sigma }_0,\cdots ,{\sigma }_{i-1},\bullet ,{\sigma }_{i+1},\cdots ,{\sigma }_n)$$对于 $k\in [n]\setminus \{i\}$ 且 $j<k$ 的 $k$ , 它满足等式 $d_{n-1}^j({\sigma }_k)=d_{n-1}^{k-1}({\sigma }_j)$.

接下来引入脊 (spine) 的概念, 它的意义将在后文得到阐述.

定义 3.19 (脊). 对于 $n$-单形 ${\Delta }^n$ 定义子函子 $I^n$ 为$$(I^n{)}_k:=\{f\in \mathrm{Hom}([m],[n]):\mathrm{im}(f)=\{j\}\text{或}\{j,j+1\}\}$$

当 $n=3$ 时 $I^3\subset {\Delta }^3$ 如下图所示, 其中绿色虚线以及顶点为脊.不难发现 $I^0={\Delta }^0$, $I^1={\Delta }^1$, 且 $I^n\subset {\Lambda }_i^n\subset \partial {\Delta }^n\subset {\Delta }^n$($1\le i\le n-1$ 或 $n>3$).

脉

本节介绍一种由范畴构造单纯集的方法.

定义 3.20 (范畴的脉). 设 $\mathcal{C}$ 为小范畴, 由此定义函子$${\Delta }^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set},[n]\mapsto \{\text{所有函子}[n]\to \mathcal{C}\}$$如视为单纯集, 则记为 $N\mathcal{C}$, 称之为 $\mathcal{C}$ 的脉.

指定 $N{\mathcal{C}}_n$ 中的元素相当于指定函子 $[n]\to \mathcal{C}$, 即在 $\mathcal{C}$ 中指定态射链$$(f_1,\cdots ,f_n):C_0\stackrel{f_1}{\to }{C}_1\stackrel{f_2}{\to }\cdots \stackrel{f_n}{\to }{C}_n;$$因此 $N{\mathcal{C}}_0$ 可以等同于 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 而 $N{\mathcal{C}}_1$ 可以等同于 $\mathrm{Mor}(\mathcal{C})$. 面态射 $d_i:N{\mathcal{C}}_n\to N{\mathcal{C}}_{n-1}$ 和退化映射 $s_j:N{\mathcal{C}}_n\to N{\mathcal{C}}_{n+1}$ 的映法是$$d_i(f_1,\cdots ,f_n)=\{\begin{array}{ccc}& (f_2,\cdots ,f_n),& i=0\\ & (\cdots ,f_{i+1}\circ f_i,\cdots ),& 0<i<n\\ & (f_1,\cdots ,f_{n-1}),& i=n\end{array}$$$$s_j(f_1,\cdots ,f_n)=\{\begin{array}{ccc}& ({\mathrm{id}}_{C_0},f_1,\cdots ,f_n),& i=0\\ & (\cdots ,f_j,{\mathrm{id}}_{C_j},f_{j+1},\cdots ),& 0<i<n\\ & (f_1,\cdots ,f_n,{\mathrm{id}}_{C_n}),& i=n\end{array}$$脉是范畴通过组合/拓扑资料的具象化, 它包含原范畴的全部信息. 我们首先来刻画有哪些单纯集是脉, 这与后文定义拟范畴息息相关.

例 3.21. ${\Delta }^n$ 同构于 $[n]$ 的脉 (只需要观察到 $(N[n]{)}_m=\mathrm{Fct}([m],[n])$ 而函子 $\mathsf{PoSet}\to \mathsf{Cat}$ 全忠实即可).

命题 3.22 (脉的刻画). 设 $X$ 为单纯集. 以下陈述等价:

1.	存在小范畴 $\mathcal{C}$ 使得 $N\mathcal{C}\simeq X$.
2.	其具备内尖角唯一填充性质, 即对任意 $0<i<n$ 以及态射 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_i^n\to X$, 存在唯一的延拓 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 使得以下图表交换.
3.	对于 $n\ge 2$, 以及态射 ${\sigma }^{\prime }:I^n\to X$, 存在唯一延拓 $\sigma :{\Delta }^n\to X$ 使得下图交换.

证明.

证明.

1. $\Rightarrow$ 2.	设 $X=N\mathcal{C}$, $0<i<n$, 我们希望将 ${\sigma }^{\prime }:{\Lambda }_i^n\to X$ 进行一个延拓. 首先做一个观察: (观察) 对每个 $0\le k\le n$(或 $0<k\le n$), 态射 ${\Delta }^0\stackrel{\{k\}}{\to }{\Delta }^n$(或 ${\Delta }^1\stackrel{\{k-1,k\}}{\to }{\Delta }^n$) 通过 ${\Lambda }_i^n$ 进行分解; 它对 ${\sigma }^{\prime }$ 的像记为 $C_k\in X_0=\mathrm{Ob}(\mathcal{C})$(或 $[g_k:C_{k-1}\to C_k]\in X_1=\mathrm{Mor}(\mathcal{C})$) 于是得到 $X_n$ 的元素$$C_0\stackrel{g_1}{\to }{C}_1\stackrel{g_2}{\to }\cdots \stackrel{g_n}{\to }{C}_n.$$相应的态射 ${\Delta }^n\to X$ 记为 $\sigma$. 按构造, 这是 ${\sigma }^{\prime }$ 唯一可能的延拓. 既然 ${\Lambda }_i^n={\bigcup }_{j\ne i}{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}$, 故只需要证明$$\sigma \circ d^j={\sigma }^{\prime }\circ d^j:{\Delta }^{n-1}\to X,j\ne i$$依照脉的定义, 上式归结为对所有的 $j\ne i$ 和数列 $0,\cdots ,\hat{j},\cdots ,n$(符号 $\hat{j}$ 代表删除 $j$) 的所有相邻元 $h<k$ 证明 $\sigma$ 和 ${\sigma }^{\prime }$ 沿着 ${\Delta }^1\stackrel{\{h,k\}}{\to }{\Lambda }_i^n\subset {\Delta }^n$ 有相同的拉回. ∘ 若 $k=h+1$, 则由 $\sigma$ 构造知自然有相同的拉回. 在 $j\in \{0,n\}$ 时所有相邻元 $k,h$ 均有 $k=h+1$. ∘ 若 $(h,k)=(j-1,j+1)$, 若 $n=2$, 则不存在这样的 $(h,k)$2, 若 $n>2$ 则要么有 $j-1>0$ 要么有 $j+1<n$. 当 $j-1>0$, 则 $\{j-1,j+1\}$ 分解为$${\Delta }^1\stackrel{\{j-2,j\}}{\to }{\Delta }^{n-1}\stackrel{d^0=\{1,\cdots ,n\}}{\to }{\Lambda }_i^n\subset {\Delta }^n$$由于在 $j=0$ 时已知相等, 因此拉回确实相等. 类似 $j+1<n$ 也可以进行化约为 $j=n$ 时处理.
2.$\Rightarrow$ 1.	定义范畴 $\mathcal{C}$ 使得 $\mathrm{Ob}(\mathcal{C})=X_0$, 而对于任意 $C,C^{\prime }\in X_0$, $${\mathrm{Hom}}_{\mathcal{C}}(C,C^{\prime }):=\{f\in X_1:d_1(f)=C,d_0(f)=C^{\prime }\}.$$应用退化映射 $s_0:X_0\to X_1$ 将恒等态射 ${\mathrm{id}}_C$ 定义为 $S_0(C)$. 以下将态射 $f$ 图解为 $0\stackrel{f}{\to }1$, 以强调它对应于 $1$-单形 $[1]=\{0,1\}\to X$. 在 $d_0(f)=d_0(g)$ 的前提下, 态射的合成定义为 $gf=d_1(\sigma )$, 其中 $\sigma :{\Delta }^2\to X$. 是所需性质 $f\circ {\mathrm{id}}_C=f$ 和 ${\mathrm{id}}_{C^{\prime }}\circ f=f$ 分别由 $X_2$ 的以下元素所见证. 至于结合律 $h(gf)=(hg)f$, 构造 ${\sigma }^{\prime }:={\Lambda }_2^3\to X$ 使得三个面为 3它有唯一的延拓依照如上构造, 上述 $2$-单形确定了 $f$ 与 $h\circ g$ 的合成, 即 $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$(即图中 $0\to 3$ 的两种合成是一致的). 综上, $\mathcal{C}$ 是范畴有典范态射 $X\to N\mathcal{C}$, 方式为给定 ${\Delta }^n\to X$ 沿着各个 ${\Delta }^1\stackrel{\{j,j+1\}}{\to }{\Delta }^n$ 拉回以得到态射链. 由构造显然有 $X_n\to N{\mathcal{C}}_n$ 在 $n=0,1$ 时是双射. 在 $n\ge 2$ 时, 取 $0<i<n$ 并考虑图表由命题 3.17 可知 ${\Lambda }_i^n$ 可表为一族 ${\Delta }^{n-1}$ 和 ${\Delta }^{n-2}$ 的 $\mathrm{coker}$. 由 $n=0,1$ 进行递归即可得知第二行为双射, 因此图表交换.
2. $\Rightarrow$ 3.	通过对 $n$ 进行归纳来证明, 当 $n=2$ 时, $I^2:0\to 1\to 2$ 即为内尖角 ${\Lambda }_1^2$ 根据假设自然满足唯一填充性质. 接下来假设对于 $k<n$ 的情况均具有填充性质, 现在我们需要将脊 $I^n\to X$ 延拓为 ${\Delta }^n\to X$. 观察到 $I^n\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 即为 $I^{n-1}$, 同理 $I^n\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 也是脊. 因此根据归纳假设, 对于 $j=0,n$ 存在唯一延拓 ${\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}\to X$. 考虑两个面的交, 即为 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0,n\}}$, 再交上脊即可得到一个更小的脊, 根据假设, 两个延拓在相交处是相等的. 因此得到映射$$I^n\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}={\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\to X$$且并起来就是 ${\Delta }^n$. 断言存在唯一延拓$${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}$$为证明断言, 先说明 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 包含 ${\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}$ 的脊: 这是因为 $2\le \le n-1$ 与 $i\to i+1$ 均在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 中, 而 $0\to 2$ 在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 中 ($n\ge 3$). 因此, 由脊可以扩充出唯一的 ${\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}\to X$, 还需要证明它们在相交处$$({\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0\}})\cap {\Delta }^{[n]\setminus \{1\}}={\Delta }^{[n]\setminus \{1,n\}}\cup {\Delta }^{[n]\setminus \{0,1\}}.$$是一致的. 而在这些单形中, 映射实际上都被在它们的脊所决定, 因此得知断言成立. 进行归纳即可得到存在唯一的映射 ${\Lambda }_{n-1}^n\to X$, 而根据条件 2. 可以得知这个映射唯一延拓到 ${\Delta }^n$ 上.
3. $\Rightarrow$ 2.	考虑单纯集间的映射 $\beta :{\Lambda }_i^n\to X$, 需要说明它能够唯一地扩张到 ${\Delta }^n$ 上. 在 $n=2$ 时, $I^2:0\to 1\to 2$ 即为内尖角 ${\Lambda }_1^2$ 根据假设自然满足唯一填充性质. 考虑 $n\ge 3$ 时, 有嵌入 $I^n\hookrightarrow {\Lambda }_i^n$ 根据 3. 可知存在唯一延拓 $\alpha :{\Delta }^n\to X$. 再将这个延拓限制到 ${\Lambda }_i^n$, 我们只需要证明 $\alpha {\mid }_{{\Lambda }_i^n}=\beta$. 由于 ${\Lambda }_i^n={\bigcup }_{j\ne i}{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}$, 因此可以将问题化约到 ${\Lambda }_i^n$ 的每个面上进行证明. 不难看出$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}}$$由于这个单纯集的脊是脊 $I^n$ 的子集, 并且根据定义有 $\alpha {\mid }_{I^n}=\beta {\mid }_{I^n}$. 因此可以推广为$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}}$$还需要证明的是$$\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j\}}}$$根据假设知 $j\ne 0,n$. 首先证明 $\alpha {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j-1,j+1\}}}=\beta {\mid }_{{\Delta }^{[n]\setminus \{j-1,j+1\}}}$, 根据 2. $\Rightarrow$ 3. 的讨论已然得知这些边要么在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{0\}}$ 中要么在 ${\Delta }^{[n]\setminus \{n\}}$ 中. 因此证明完成.

$\square$

注 3.23. 不难发现, 若要求条件 2. 的适用范围扩大到外尖角上, 则 $\mathcal{C}$ 是群胚. 只需要取 ${\Lambda }_0^2$, $K$ 为单纯集的脉, 给定映射 ${\Lambda }_0^2\to K$ 其对应于取 $C_0\to C_2=\mathrm{id}$, $C_1\to C_2=f$ 则尖角填充性质说明 $f$ 可逆.

记 $\mathsf{Cat}$ 是所有小范畴构成的范畴, 态射取为函子. 任意函子 $F:\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$ 都诱导 $\mathsf{sSet}$ 中的态射 $NF:N\mathcal{C}\to N{\mathcal{C}}^{\prime },(f_1,\cdots ,f_n)\to (F{f}_1,\cdots ,F{f}_n)$, 由此定义出脉函子 $N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sSet}$.

推论 3.24. 脉函子是全忠实的.

证明.

证明. 根据命题 3.22 可知 $N\mathcal{C}\to N{\mathcal{C}}^{\prime }$ 自然诱导 $\mathcal{C}\to {\mathcal{C}}^{\prime }$. 不难发现与 $N$ 诱导的态射互逆, 因此为态射集间的双射, 即全忠实.

$\square$

4本章习题

脚注

1.	^ 若感到困惑可以看后文对于尖角与边界的几何实现的描述
2.	^ 因此时 $i=1$, 而 $j\ne i$
3.	^ 注意到 ${\Lambda }_2^3$ 中没有 $d_2$-面

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