用户: 遗忘的左伴随/资料推荐

此处为部分讲义以及资料的推荐, 后续或许会追加 (现已追加部分双叶群推荐书单).

注 0.1. 本资料页又称大手狠狠抽屁股页. 此外, 本资料页中的 “本人” 或者 “我” 都不一定是指资料页作者本人.

1同伦论

前言 1.1. 环: 这下谁再问同伦论教材, 我就要用我的大手狠狠的抽他的屁股了!

注 1.2. 资料 (散装资料有合并本, 无法访问的资料已补全) 全都可以在我的 GitHub 中找到.

稳定同伦论

1.	Denis Nardin. Introduction to stable homotopy theory1. 注 1.3 (配套网课). ∘ YouTube. ∘ BiliBili.
2.	Bastiaan Cnossen.Introduction to stable homotopy theory Winter term 2024/2025, University of Regensburg. 使用 Cisinski 的公理化 $\infty$-范畴.

等变同伦论

入门	Denis Nardin. INTRODUCTION TO EQUIVARIANT HOMOTOPY THEORY.
入门	Maxime Ramzi. Equivariant stable homotopy theory.
深入	Andrew Blumberg. Equivariant Stable Homotopy Theory Notes.

色谱同伦

Lurie.	Chromatic Homotopy Theory (252x) 此外还有合订本.
Devalapurkar.	Lecture notes on chromatic homotopy theory. 注 1.4 (评价). 具有基本定理证明.
Pstragowski.	Finite Hight Chromatic Homotopy Theory. 注 1.5 (评价). 讲形式群形变, 没有 monochromatic, telescope 这些分支内容.

母题同伦与母题同调

Bachmann.	ALGEBRAIC K-THEORY FROM THE VIEWPOINT OF MOTIVIC HOMOTOPY THEORY.
Elmanto.	Motives at p.
Elmanto.	IHES Lecture Note.

谱序列

Rognes.	Spectral Sequences.
Gregoric.	Grothendieck Spectral Sequence in Higher Algebra2. 注 1.6. 现代视角.
Hatcher.	Algebraic Topology,Chapter 5.

2$\infty$-范畴

星穹铁道.

无穷范畴理论

入门	Markus Land. Introduction to Infinity-Categories.
进阶	Jacob Lurie. Higher Topos Theory. 注 2.1. 虽然是正宗之作, 不过最好对于 $\infty$-范畴有基础了解之后再看.
进阶	Cisinski. Higher Categories and Homotopical Algebra. 注 2.2. 不错的一本书.
工具书	Jacob Lurie. Kerodon. 注 2.3. 直接阅读这本书会缺少直观, 建议对于模型范畴有初步了解之后再看第三章.
讲义	Ferdinand Wagner. $\infty$-Categories in Topology3.] 注 2.4. 以几何与直观作为核心的讲义.
笔者笔记	我正在书写一份 $\infty$-范畴笔记, 见 overleaf, 欢迎批评指正.
陈麟	陈麟. Fall 2024: Infinite Category Theory. 注 2.5. 简洁, 跳过了绝大多数证明.

高阶代数

高阶代数	Jacob Lurie. Higher Algebra.
代数模式	代数模式及其下推荐文献.

3K 理论

连续 K	Alexander I. Efimov. K-theory and lozalizing invariants of large categories.
Hermitian K	Fabian Hebestreit. Algebraic and Hermitian $K$-Theory.
连续 K	Achim Krause, Thomas Nikolaus, Phil Pützstück. Sheaves on manifolds.

4解析叠

Scholze	所有讲义. 注 4.1. 以及经典网课 ∘ YouTube. ∘ BiliBili.
Camargo	∘ The analytic de Rham stack in rigid geometry ∘ Analytic Prismatization Over ${\mathbb{Z}}_p$4.

5范畴逻辑

278x	Jacob Lurie.Categorical Logic.

6分析与方程

微分方程 (进阶)

PDE	Lawrence C. Evans. Partial Differential Equations.
GT	Gilbarg&Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. 注 6.1 (评价, 此处本人非我本人, 是评价者本人). 重量级建议有一定 PDE 基础再研读, 如果连 Sobolev 空间都没弄懂还是不要接触; 此书讲法古典, 虽然结论给的十分完整但很多证明过程都有所简略需要读者自己补全, 没有一定分析功底根本还原不出来; 整体偏向几何分析方向; version of Hartshorne, 个人认为这本书对于学习 PDE 的意义和价值类似 Hartshorne(GTM52) 之于代数几何, 十分经典应该多遍细读. 两者都是写得十分扎实深厚的技术型工具书, 适合那些已经有强烈学习动机, 愿意下一番硬功夫的读者. 至于 Hormander 则更加艰深晦涩, 应该类比 EGA 了.
1.	Haim Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and PDEs. 注 6.2 (评价, 此处本人非我本人, 是评价者本人). 个人感觉无缝衔接泛函和 PDE,Sobolev 章节写的很好. 原本 Fonctionelle Analyse 是法国经典教材.

泛函分析 (进阶)

1.	Conway. A Course in Functional Analysis, GTM 96. 注 6.3. 中科院研究生教材, 更偏向泛函本身, 对测度论要求比较高, 其实个人以为测度论如果只讲拓扑空间里的测度与积分的也不太合适. 顺序是先积分后测度 (LCH 上 $C^0$ 正线性泛函那一套) 因为纯粹所以少了一些应用

调和分析 (Fourier 分析)

Stein	Elias M. Stein. Fourier Analysis: An Introduction. 注 6.4. Stein 的写书风格十分平易近人, 他会讲解来龙去脉, 非常适合自学. 此书较数学分析教材中的傅立叶分析, 自然定义得更加严谨、一般, 材料也更多
Grafakos	Loukas Grafakos. Classical Fourier Analysis.

7算子代数/非交换几何 (算子代数 K 与拓扑 K 理论)

Valette	Alain Valette. Introduction to the Baum-Connes conjecture. 注 7.1. 这本书是介绍 BC 猜想的, 是非交换几何的核心问题. 感兴趣可以翻翻, 看看就大概可以知道高指标的在做什么了
Khalkhali	Masoud Khalkhali. Basic Noncommutative Geometry. 注 7.2. 这本书可以算是非交换几何入门, 就是讲循环上同调的.
1.	Gerard J. Murphy. $C^{\ast }$-Algebras and Operator Theory.

8代数

交换代数

1.	The Stacks project. 00AO. 注 8.1. 究极无敌线上大字典, 虽然照着它学你估计啥都学不会.
2.	许金兴. 交换代数讲义.
3.	A. Altman, S. Kleiman. A Term of Commutative Algebra. 注 8.2. MIT 教授的交换代数完全自学讲义/教材, 涵盖经典 Atiyah–MacDonald, 但是明显它的行文要更方便初学. 习题全解 [可能不是好事, 但是不至于一头雾水了], 习题真包含 AM 习题; 准素分解部分现代与古典讲法均有. 两名教授的名字频繁出现在代数几何经典引文中, 可见功力.
4.	Micheal.Atiyah&I.G.MacDonald. Introduction to Commutative Algebra. 注 8.3. 简称 A&M(经典自不用多说, 风格很形式化, 虽然是薄书内容很干但思路明确, 证明简洁但重要的思路都点到了, 全书精华都浓缩在习题里, 包括其在代数几何中的应用; 当然如果要系统学习代数几何那么 atiyah 的交换代数是远远不够的.
5.	Hideyuki Matsumura. Commutative Ring Theory. 注 8.4. 交换代数进阶, 建议 A&M 结束再看, 体系很整洁内容更深入; 另一方面因为交换代数在代数几何里大量使用, 所以还是应该和代数几何配合着一起学比较舒服, 比如配合 gtm52 一起学, 这本书就是很好的选择.
6.	D. Eisenbud. Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. 注 8.5. 交换代数大大大大大大字典, 大板砖.
7.	Andreas Gathmann. Commutative Algebra. 注 8.6. 交换代数宝宝入门, 内容和妮可申屠钧超老师的交换代数大体接近 (比申屠钧超) 多一点, 风格完全一致, 即讲代数的时候兼顾对应的几何. 但也正是因为这点, 导致内容有点少. 但作为入门我认为是非常好的资料.
8.	Hideyuki Matsumura. Commutative Algebra. 注 8.7. 交换代数入门, 比 Matsumura 所著 Commutative Ring Theory 简单, 略简略, 修订版有 typo.
9.	Andrea Ferretti. Homological Methods in Commutative Algebra.
10.	Zariski& Samuel. Commutative Algebra Volume I. 注 8.8. 虽然符号古老, 但是非常新手友好的一本书. 学完基本的群、环、模、域之后阅读本书的 II.11,III. 9-11 即可直接进入第四章. 需要注意本书用语和符号上与现在的书不同的几点:(1) 本书的 isomorphism 表示单同态 (不一定满射) (2) 本书有时映射不加括号且写在右边, 比如 T(x) 本书写成 xT (3) 本书要求 local ring 诺特 (4) 本书冒号理想不加括号 ((A:B) 在本书直接写成 "A:B") . 此外本书 IV.13 对于理想长度的定义疑似应该修改, 见 MathStackExchange.

范畴论

笔者笔记	我书写了一份代数拓扑讲义, 第一章讲述了基础范畴论以及高阶范畴一瞥等知识, 见 Overleaf.
Riehl	Emily Riehl. Category Theory in Context. 注 8.9. 相对比较基础的范畴论入门教材. 看了这本书之后你会知道沿着米田嵌入的 Kan extension 很常用; gtm5 属于比较进阶的内容了, 主要问题是太老了, 里面用的那些概念现在都不用了, 像 universal arrow 之类的.
1.	Tom Leinster. Basic Category Theory. 注 8.10. Leinster 是把范畴论最基本的几个题目, 比如 adjoin, representable, limit 都讲到了, 讲得很细. 我想可能专门做范畴方向才会需要这么细. 毕竟大多方向, 也只是因为同调代数的需要而作为一个语言 (当然 Riehl 后面也有很多内容, 比如 monads、Kan extension 等等) 不过我个人其实挺喜欢这种讲法的, 有种真正在学范畴论的感觉.

同调代数

1.	李文威. 代数学方法 (卷二). 注 8.11. 建议在对于同调代数有部分了解之后再看此书, 外篇属于不可不品级别.
2.	M. Osborne. Basic Homological Algebra. 注 8.12. 作者声称他要对标 J. Rotman 的著名同调代数板砖 Intro to Homological Alg, 实际个人阅读体验比标杆还好一点, 因为始终围绕主线讲投射内射平坦、导出函子与范畴初步, 没有像 Rotman 一样多加两章特殊的环与模 [个人认为有点偏离同调代数主线], 也没有后面的谱序列等内容, 但是行文更亲切细致不烦躁.
3.	郑维喆. Lectures on Homological Algebra. 注 8.13. 非常好入门, 使我链复形旋转.
4.	Charles A. Weibel. An Introduction to Homological Algebra. 注 8.14. 比上面两本都要全面, 谱序列、群上同调、单纯对象、导出范畴都有, 正文中留习题可能会拖慢阅读进度. 如果承认部分结果可以用此书学上面提到的各个专题. 当然自学时个人不喜欢这书的写法, 大概因为本人菜鸡 _(:з」∠)_ ps.Weibel 作为同调代数来说确实是不错的, 只是他没有讲层上同调.
5.	Luc Illusie. Topics in Algebraic Geometry. 注 8.15. 简洁明快地讲了导出范畴与几个常用导出函子, 可以用于参考.
6.	Pierre Schapira& 柏原正树. An Introduction to Categories and Homological Algebra. 注 8.16. 130 页从范畴论入门到导出范畴, 某种意义上算是速成讲义. 正文写的很清晰, 但很跳, 从头跳到尾, 但感觉都没有太难 (补比较简单的跳步也是一种学习). Schapira 说这讲义其实算是为学习他和柏原正树写的 Categories and Sheaves 做准备, 同样作用的讲义还有他们两位写的 An Introduction to Sheaves on Grothendieck Topologies 和 An Introduction to Algebraic Microlocal Analysis (锐意制作中)

代数表示论

表示是理解对象的一种方法, Gelfand 曾说过: 一切皆表示.

1.	Pavel Etingof. Introduction to representation theory. 注 8.17. 快速全面, 习题经典, 当然不是特别容易做 [大概因为本人菜].
2.	Ibrahim Assem & Andrzej Skowronski & DanielSimson. Elements of the Representation Theory of Associative Algebras.

代数几何

原神你好, 原神再见.

1.	(真正的原神)Hartshorne. Algebraic Geometry. 注 8.18. 这本书不是传统的代数几何教材, 总体上走的还是 EGA 的路线 (给人的感觉像是缩水的 EGA), 在 EGA 系列横空出世之后极度缺少 (其实根本没有) 英文教材, 后来因为解释 EGA 的需要, 出版年代久远而闻名于世的代数几何圣经. 个人只读过前三章, 习题很不友善, 感觉做做二三章就可以了. 缺点就是抽象废话过多, 不过能帮你积累很多例子和几何直观, 建议和其他 AG 教材配合使用).
2.	The Stacks Project. 注 8.19. 究极大大大大大大大大大大大字典.
3.	Bosch. Algebraic Geometry and Commutative Algebra. 注 8.20. 这明显比大名鼎鼎的 GTM52 易读, 前半交换代数, 后半代数几何概形语言, 比较容易上手.
4.	Qing Liu. Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. 注 8.21. 算术向的代数几何入门教材, 相比普通代数几何会多一些数论常见的性质.
5.	Vakil. The Rising Sea: Foundations Of Algebraic Geometry Notes. 注 8.22. 咸鱼之友.Stanford MATH216 代数几何讲义, 习题很多也很重要 [多是重要例子与证明过程中的重要步骤, 多半有路线提示, 不太会一头雾水] 讲述全面细致, 讲义自身逻辑封闭, 把 GTM52 的 2 3 两章的材料重新编排并加入一些经典结论. 花费一年的心血与泪水吃透本讲义之后你就可以接触更高阶代数几何内容了 [作者前言如是说]
6.	Torsten Wedhorn&Ulrich Görtz. Algebraic Geometry I: Schemes 以及 Algebraic Geometry II: Cohomology of Schemes. 注 8.23. 讲 scheme 最好的书应该是 W&G, 这本书所有的结论都很一般而且具体例子不多, 基本上集中在最后一章, 不过例子都蛮有意思, 开头很多节都是围绕一个内容层层深入的. 另外他的习题给的很多完全做不完. 最大的一个缺点就是讲的有些啰嗦了 (啰嗦指把该留作习题的东西都给证明), 除此之外各方面都写的很好. 卷二完全使用了导出范畴的语言去描绘上同调, 属于不可不看.

9几何与拓扑

脚注

1.	^ 疑似无法访问
2.	^ 疑似无法访问
3.	^ Lecture Note
4.	^ 没找到网站