用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/配边 (一)

In mathematics, cobordism is a fundamental equivalence relation on the class of compact manifolds of the same dimension, set up using the concept of the boundary (French bord, giving cobordism) of a manifold. Two manifolds of the same dimension are cobordant if their disjoint union is the boundary of a compact manifold one dimension higher.

— Wiki 的 Corbordism 页面

我们参照 Macro Mendez 的 Cobordism Theory Lecture Notes of a Course Taught by Daniel Quillen, 首先简要地介绍一些配边理论. 假设读者有最基本的流形几何知识, 让我们直接跳到第五章的配边部分.

1什么是配边

定义 1.1. 假设我们有两个, 流形之间的(拓扑) 紧合映射 $g:Z\to X,g^{\prime }:Z^{\prime }\to X$. 那么 $g,g^{\prime }$ 称为配边的指的是存在一个流形间的紧合映射 $h:W\to X\times \mathbb{R}$ 使得下面的横截纤维积 (transversal cartesian) 的流形交换图表存在:

$\bullet$ 注意在这里流形还是不带边的, 一个比较典型的例子是$$X=\mathrm{pt},Z=Z^{\prime }={\mathbb{S}}^1,W={\mathbb{S}}^1\times \mathbb{R}$$这里 $Z\to W,Z^{\prime }\to W$ 直接取成: 把圆环打到圆柱面的 ${\mathbb{S}}^1\times \{0\},{\mathbb{S}}^1\times \{1\}$ 处.

读者容易想象, 如果我们把上面的 $\mathbb{R}$ 换成 $[0,1]$, 然后 $W$ 是带边流形, 就是原来的 $W$ 换成 $h^{-1}(X\times [0,1])$.

$\bullet$ 另一个自然的例子是, 考虑紧合映射 $W\to X\times S$ 其中 $S$ 是连通流形, 若 $s_0,s_1\in S$ 是 ${\mathrm{pr}}_2\circ h:W\to S$ 的正则值 (regular value), 定义 $W_{s_i}:=({\mathrm{pr}}_2\circ h{)}^{-1}(s_i)$ 则 $W_{s_0}\to X$ 和 $W_{s_1}\to X$ 是配边的. 证明留给读者作为习题.

$\circ$ 配边的核心之一在于:

命题 1.2. 固定一个流形 $X$, 紧合映射 $Z\to X$ 构成的集合上, 配边是一个等价关系.

证明. 只需检查等价关系中的传递性, 其余两则显然. 现假设我们有 $f_i:Z_i\to X(i=0,1/2,1)$, 假设 $h:W\to X\times \mathbb{R}$ 配边 $f_0,f_{1/2}$, $h^{\prime }:W^{\prime }\to X\times \mathbb{R}$ 配边 $f_{1/2},f_1$. 利用横截性, 可以取一个 $ϵ>0$ 充分小, 使得$$\begin{array}{rl}{h}^{-1}(X\times (1-ϵ,1+ϵ))& \cong Z_{1/2}\times (1-ϵ,1+ϵ),\\ (h^{\prime }{)}^{-1}(X\times (-ϵ,ϵ))& \cong Z_{1/2}\times (-ϵ\times ϵ).\end{array}$$于是只需将 $W$ 的 $Z_{1/2}\times (1-ϵ,1+ϵ)$ 部分以及 $W^{\prime }$ 的 $Z_{1/2}\times (-ϵ,ϵ)$ 部分拼接起来就能构造出 $W$. 由此检查了传递性.

$\square$

$\circ$ 另一个核心在于配边具有丰富的结构, 例如可以构成环. 接下来我们对 $g:Z\to X$ 所在的等价类记作 $[g]$, 那么全体等价类构成的集合记作 $N(X)$.

$\bullet (1)$ 若 $f:X\to Y$ 是紧合映射, 则可定义推出 $f_{\ast }:N(X)\to N(Y)$ 为 $f_{\ast }[g:Z\to X]:=[f\circ g:Z\to Y]$. 为检查良定, 只需左作用 $f$ 即可从打到 $X$ 映射的配边构造出打到 $Y$ 映射的配边.

更进一步地, 容易检查, 从流形间紧合映射构成的范畴, 到集合范畴, $X\mapsto N(X)$, 取推出 $f\mapsto f_{\ast }$ 得到一个协变函子.

$\bullet (2)$ 对 $f:X\to Y$ 是流形 (一般的光滑) 映射, 我们首先可以微扰 $f:X\to Y$: 根据某种横截性定理, 可以寻找一个同伦的 $f\approx f^{\prime }:X\to Y$ 使得 $f^{\prime }$ 与 $g$ 横截相交. 这样便可以考虑纤维积由于 $g:Z\to Y$ 紧合故 $X{\times }_{Y}Z\to X$ 紧合, 我们定义 $f^{\ast }[g:Z\to Y]:=[X{\times }_{Y}Z\to X]$. 这次良定性主要需要检查定义和 $f^{\prime }$ 的选取无关. 现在假设有同伦 $h:X\times \mathbb{R}\to Y$ 满足 $h_0=f^{\prime },h_1=f^{\prime \prime }$ 且 $h$ 是光滑的, 还在 $X\times 0\cup X\times 1\subset X\times \mathbb{R}$ 处与 $g$ 处处横截. 再次使用横截性定理, 可以通过 $2$-同伦从而要求 $h,g$ 都横截, 从而得到如下的横截纤维积图表这样一来, $W\to X\times \mathbb{R}$ 就是一个 $X{\times }_{f^{\prime },Y}Z\to X$ 和 $X{\times }_{f^{\prime \prime },Y}Z\to X$ 之间的配边. 剩下关于 $g:Z\to Y$ 代表类无关的检查留给读者.

类似地检查, 从流形间映射构成的范畴到集合范畴, 取拉回 $f\mapsto f^{\ast }$ 得到反变函子.

$\bullet (3)$ 刚刚 $(2)$ 的证明细节中也能看出对同伦的映射不改变拉回 $f^{\ast }:N(Y)\to N(X)$.

$\bullet (4)$ 对于下面的横截纤维积图表我们有 $f_2^{\ast }(g_2{)}_{\ast }=(g_1{)}_{\ast }{f}_1^{\ast }:X_2\to Y_1$. 证明则是直接计算那么 $f_2^{\ast }(g_2{)}_{\ast }(\alpha )=f_2^{\ast }[Z\to Y_2]=[Q\to Y_1]$, 这是因为 $f_2$ 和 $g_2\alpha$ 横截. 同样地计算 $(g_1{)}_{\ast }{f}_1^{\ast }(\alpha )=(g_1{)}_{\ast }[Q\to X_1]=[Q\to Y_1]$. 这里我们也用 $\alpha$ 表示代表类中的一个元素.