用户: Cybcat/数学物理学家用的数学/Frobenius 流形 (一)

Frobenius 流形是随着量子上同调的研究自然产生的对象.

以下我们称一个流形 $X$ 为偶的, 指它的上同调只在偶数维 $H^{2i}(X)$ 非平凡. 偶流形在我们的讨论中有好的表现, 所以如无特殊说明, 均假设本文中出现的流形是偶的.

1Frobenius 代数

定义与例子

一个比较经典的 Frobenius 代数的定义方法是:

定义 1.1. Frobenius 代数包含以下信息, 一个含幺 $1$ 的有限维 $\mathbb{C}$-(结合) 代数 $A$, 一个线性泛函 $\alpha :A\to \mathbb{C}$ 使得配对 $⟨a,b⟩:=\alpha (ab)$ 是非退化的 $\mathbb{C}$-双线性映射.

$\bullet$ 等价地, 相当于给定了一个 $A^{\mathrm{op}}$ 作为左 $A$-模与 ${\mathrm{Hom}}_{\mathbb{C}}(A,\mathbb{C})$ 的 $A$-模同构.

毕竟一个 $\mathrm{Hom}(A^{\mathrm{op}},\mathrm{Hom}(A,\mathbb{C}))=\mathrm{Hom}(A^{\mathrm{op}}\otimes A,\mathbb{C})$, 所以是双线性映射, 同构对应非退化. 然后左模结构使得它满足 $f(ab,c)=f(a,bc)$. 典型的例子是 $A\subset M_n(\mathbb{C})$ 是一个 $\mathbb{C}$-子代数的情形, 此时可以选取 $⟨a,b⟩:=\mathrm{Tr}(ab)$, 在很多情况下, 该双线性型都是非退化的.

例 1.2. 以下是一些 Frobenius 流形的例子.

$\circ$ 根据上一段, 有限群的群代数就是一个 Frobenius 代数. 迹映射非退化是因为群代数半单, 可以写成若干矩阵代数的直和, 而矩阵代数的迹非退化.

$\circ$ 对 $A=\mathbb{C}[t]/(t^n)$, 一个 $\mathbb{C}$-线性形式 $\alpha$ 符合题意当且仅当满足 $\alpha (t^{n-1})\ne 0$. 这是因为对任意一个非零元素 $f(t)\in A$, 可以通过乘以一个 $t^m$ 调节首项使得 $t^{m}f(t)\in t^{n-1}A$ 非零, 由此可知非退化性.

$\circ$ 给定偶流形 $X$, 其上同调环 $H^{\bullet }(X,\mathbb{C})$ 是一个 Frobenius 代数, 其中配对是 Poincare 配对.

$\circ$ 这个例子较为复杂, 可以认为是前面幂零版本的推广. 考虑形式幂级数环中的元素 $f_1,\cdots ,f_m\in R:=\mathbb{C}[[z_1,\cdots ,z_m]]$, 记理想 $I:=(f_1,\cdots ,f_m)$ 使得 $A:=R/I$ 是有限维 $\mathbb{C}$-线性代数. 那么可以证明 Jacobian $J=\det (\frac{\partial f_i}{\partial z_j}{)}_{i,j}$ 在 $A$ 中的像非零 (即不在 $I$ 中). 此时 $\alpha :A\to \mathbb{C}$ 符合条件当且仅当 Jacobian 的像非零, 即 $\alpha (J)\ne 0$.

Grothendieck 曾定义一个特别的 $\alpha$ 为留数$$\alpha (g)={\mathrm{Res}}_{\forall i,f_i=0}\frac{gd{f}_1\wedge \cdots \wedge d{f}_m}{f_1\cdots f_m}.$$

$\circ$ 此外, 给定两个 Frobenius 代数, 可以证明在它们的直和与直积上也有典范的 Frobenius 代数结构.

$\circ$ 给定半单 $\mathbb{C}$-代数 $A$, 实际上典范的迹 $\mathrm{Tr}:A\to \mathbb{C}$ 就能被取作我们想要的 $\alpha$. 这里的 $\mathrm{Tr}(a)$ 取的是 $a:A\to A,x\mapsto ax$ 这一线性映射的迹.

三重积

$\bullet$ 现给定 Frobenius 代数后, 我们就能定义 $3$-线性形式 $T\in (A^{\vee }{)}^{\otimes 3}$ 为 $T(a,b,c):=\alpha (abc)$. 这个形式和我们之前见到的三重积非常像. 那么我们会问, 怎样的 $T$ 能决定 $\alpha$ 呢; 换句话说, 我们企图寻找一个用 $T$ 来定义 Frobenius 代数 (甚至其上的乘法) 的办法.

简单起见, 我们仅研究 $\mathbf{A}$ 是交换代数的情形. 其上有 $3$-线性形式 $T\in (A^{\vee }{)}^{\otimes 3}$.

$\circ$ 那么首先 $T$ 要是对称的, 即 $T\in {\mathrm{Sym}}^3(A^{\vee })$.

$\circ$ 其次 $T$ 要满足适当的非退化性, 对任意 $0\ne a\in A$, 映射 $x\mapsto T(1,a,x)$ 须是非零线性映射; 等价地, 对任意 $f\in A^{\vee }$, 存在唯一 $a\in A$ 使 $T(1,a,x)=f(x)$.

$\circ$ 最后是结合律, 这一点根据对称性只需检查 $T(ab,c,d)=T(a,bc,d)$. 现在让我们任选 $A$ 的一组基 $\{e_i{\}}_i$, 记 $T_{ijk}:=T(e_i,e_j,e_k)$ 以及 $g_{jk}=T(1,e_j,e_k)$ 以及 $(g^{jk})=(g_{jk}{)}^{-1}$. 那么 $T(e_i{e}_j,e_k,1)=T(e_i,e_j,e_k)$ 即$$T(T_{ijp}{g}^{pq}{e}_q,e_k,1)=T_{ijp}{g}^{pq}{g}_{qk}=T_{ijk}=T(e_i,e_j,e_k).$$于是乘法结合律即 $(e_i{e}_j)e_k=e_i(e_j{e}_k)$, 写出来即对任意 $i,j,k$ 有$$T_{ijp}{g}^{pq}{T}_{qkl}{g}^{lm}=T_{jkp}{g}^{pq}{T}_{iql}{g}^{lm}.$$然后两边消掉 $g^{lm}$ 就得到$$T_{ijp}{g}^{pq}{T}_{qkl}=T_{jkp}{g}^{pq}{T}_{iql}.$$

到时, 我们将会看到这条式子即著名的 WDVV(Witten-Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde) 方程.

$\circ$ 实际上, 在我们这里的设定下, 其实可以保证幺元是存在的, 让我们来证明此事.

引理 1.3. 若 $A$ 是一个交换的, 结合的, (作为线性空间) 有限维 $\mathbb{C}$-代数. 倘若 $A$ 不含幺, 则存在元素 $0\ne x\in A$ 使得 $Ax=0$.

证明. 熟知我们可以定义 $\tilde{A}:=A\oplus \mathbb{C}1$ 上的含幺交换代数结构. 现在 $A^{\prime }$ 是 $\mathbb{C}$-有限维交换代数, 由于它是 Artin 环, 所以根据结构定理 $\tilde{A}={⨁}_i{A}_i$, 其中 $A_i:=\mathbb{C}[x_i]/(x_i^{n_i})$, $n_i$ 是正整数. 现在 $A\subset A^{\prime }$ 是一个极大理想: 首先它是理想, 其次加入一个 $A\backslash A^{\prime }$ 中的元素都会让它生成整个 $A$. 那么根据分类定理, $A$ 同构于某 ${\mathfrak{m}}_i$, 即 $(x_i)\oplus {⨁}_{j\ne i}{A}_j$. 但是它作为代数不含幺, 这意味着 $n_i\ne 1$. 由此可知 $x=x_i^{n_i-1}$ 这个元素满足 $xA=0$, 结论得证.

$\square$

实际上根据上述论断 (1) 含幺, (2) 存在非零元素 $x$ 使得 $Ax=0$ 二者必然有且仅有其一成立. 由此可知对于不含幺的 $A$, 无法在其上定义非退化的 $(a,b)\mapsto \alpha (ab)$, 毕竟其上的乘法已经退化. 所以换言之, 幺元总是存在的, 而其一旦存在必然唯一.

2Frobenius 流形

大抵上说, Frobenius 流形就是在每个点的切丛上有一个 Frobenius 代数结构的流形. 不过为了精确地阐述, 我们须做一点准备工作.

准备工作

在这之前我们先温习一些 Riemann 几何概念. 给定一个流形 $M$, 它的切丛记作 $TM$. 则一个 $M$ 上的伪测度是 $TM$ 上的一个非退化对称双线性型, 我们也记作 $g$. 这意味着 $g$ 给出一个 $TM$ 和 $T^{\ast }M$ 的同构. 那么 Riemann 几何的经典结论告诉我们存在 Levi-Civita 联络 $\nabla$ 满足对向量场 $X,Y,Z$ 我们有$$\begin{array}{rl}(1)& Z(g(X,Y))=g({\nabla }_{Z}X,Y)+g(X,{\nabla }_{Z}Y)(\text{度量平坦});\\ (2)& {\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y](\text{联络无挠}).\end{array}$$

由此出发, 我们定义了曲率张量$$R(X,Y)Z:={\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z-{\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_{[X,Y]}Z.$$于是 $R$ 可以被看作 $TM\otimes TM\otimes \mathrm{Hom}(TM,TM)$ 的一个截面. 那么它等于 $0$ 当且仅当在局部 $U\subset M$ 上存在映射 $U\to {\mathbb{R}}^m$ 满足 $g{|}_U$ 是一个 ${\mathbb{R}}^m$ 上的常系数度量的拉回 (标准坐标下 $g_{ij}$ 都是常数).

$\circ$ 当然这一套语言在复解析的情形下也是正确的, 记 $TM$ 为全纯切丛, $g$ 是一个全纯非退化对称双线性型. 则我们也能定义 LC 联络 ${\nabla }_{X}Y$. 然后曲率 $R$ 是一个全纯张量, 该张量为 $0$ 当且仅当它局部上具有 $U\to {\mathbb{C}}^m$ 的映射, 使得 $g{|}_U$ 是常度量的拉回. 由于非退化复对称矩阵总可以被合同对角化, 然后对角线上总能取 $1$, 所以 ${\mathbb{C}}^m$ 上的标准常度量可以取成 ${\sum }_{v}d{z}^v\otimes d{z}^v$. 坐标卡间的转移矩阵生活在 $\mathrm{SO}(n,\mathbb{C})$ 中.

定义和形变联络

现在回到 Frobenius 流形的讨论中去, 设 $M$ 是复流形, $TM$ 上带非退化对称双线性 $g$, 然后我们假设手头上有一个非退化对称三线性 $\mathbf{T}$, 现在 $T$ 和 $g$ 定义了一个乘法 $g(X\cdot Y,Z)=T(X,Y,Z)$. 这样好处就是 $\bullet \cdot \bullet$ 是对称的双线性运算, 有了它我们再定义形变联络 (Deformed Connections): $${\nabla }_X^{\lambda }Y:={\nabla }_{X}Y+\lambda X\cdot Y,\lambda \in \mathbb{C},$$那么计算其挠得到$${\nabla }_X^{\lambda }Y-{\nabla }_Y^{\lambda }X-[X,Y]={\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X-[X,Y]+\lambda X\cdot Y-\lambda Y\cdot X=0.$$由此可见 ${\nabla }^{\lambda }$ 也是无挠的. 紧接着定义乘法运算 ${\mu }_X(Y):=X\cdot Y$, 就可以从它出发定义形变张量$$R^{\prime }(X,Y):=[{\nabla }_X,{\mu }_Y]-[{\nabla }_Y,{\mu }_X]-{\mu }_{[X,Y]}.$$

命题 2.1. 算子 $R^{\prime }$ 是一个张量, 而且它是一个全纯 $2$-形式, 取值于对称自同态 $\mathrm{Hom}(TM,TM)$, 这里 $TM$ 表示全纯切丛. 而 $g(R^{\prime }(X,Y)Z,W)$ 关于 $(X,Y)$ 反对称, 关于 $(Z,W)$ 对称.

而重点是, 下面三则命题等价:

(1) $\nabla$ 是平坦的, 乘积 $\bullet \cdot \bullet$ 是结合的, $T(X,Y,Z)$ 在局部上看: 存在 $M$ 的平坦坐标卡 $U$, 还有全纯函数 $\Phi :U\to \mathbb{C}$ 使得 $T(X,Y,Z)={\nabla }_X{\nabla }_Y{\nabla }_Z\Phi$.

(2) 对一切 $\lambda \in \mathbb{C}$, 都有 ${\nabla }^{\lambda }$ 平坦.

(3) $\nabla$ 是平坦的, 乘积 $\bullet \cdot \bullet$ 是结合的, 且 $R^{\prime }\equiv 0$.

证明概要. 让我们先从计算 ${\nabla }^{\lambda }$ 的曲率开始: $${\nabla }_X^{\lambda }{\nabla }_Y^{\lambda }={\nabla }_X{\nabla }_Y+\lambda ({\mu }_X{\nabla }_Y+{\nabla }_X{\mu }_Y)+{\lambda }^2{\mu }_X{\mu }_Y.$$由此可知其曲率算子作用在 $(X,Y)$ 上得到$$\begin{array}{rl}R({\nabla }^{\lambda })(X,Y)=& {\nabla }_X^{\lambda }{\nabla }_Y^{\lambda }-{\nabla }_Y^{\lambda }{\nabla }_X^{\lambda }-{\nabla }_{[X,Y]}^{\lambda }\\ =& R(\nabla )(X,Y)+\lambda R^{\prime }(X,Y)+{\lambda }^2({\mu }_X{\mu }_Y-{\mu }_Y{\mu }_X).\end{array}$$注意到 $\nabla$ 平坦即 $R(\nabla )=0$, 那么 ${\nabla }^{\lambda }$ 总平坦当且仅当 $R^{\prime }(X,Y)\equiv 0$ 以及 $X\cdot (Y\cdot Z)=Y\cdot (X\cdot Z)$, 由乘法交换律, 这式子也就等价于乘法结合律. 换言之我们证明了 (2) 和 (3) 等价.

接下来观察 (1) 和 (3) 等价, 由于 $g$ 关于 $\nabla$ 平坦, 现在取一个平坦坐标卡 $U$, 使得它的像是 $B={\mathbb{D}}^n\subset {\mathbb{C}}^n$ 开球儿. 所以这使得我们可以将结论放到 $B$ 上讨论, 并假设 $g$ 具有常系数, 也就是我们之前取的那个标准的 $\sum d{z}^v\otimes d{z}^v$. 此时 $\nabla$ 就是常规的导数, 向量场平坦当且仅当是常向量场.

现在让我们研究一族全纯函数 $(f_{ijk}:B\to \mathbb{C}{)}_{1\le i,j,k\le n}$, 则不难检查它们是某个全纯函数 $\Phi$ 的偏导, 即 ${\partial }_i{\partial }_j{\partial }_k\Phi =f_{ijk}$ 当且仅当 ${\partial }_l{f}_{ijk}$ 关于其全体指标 $i,j,k,l$ 对称. 更内蕴地说, 存在 $\Phi$ 使得 $f(X,Y,Z)={\nabla }_X{\nabla }_Y{\nabla }_Z\Phi$ 对一切平坦 $X,Y,Z$ 当且仅当 $X(f(Y,Z,W))$ 关于平坦向量场 $X,Y,Z,W$ 对称.

我们把这些刻画作用在 $f(X,Y,Z)=g(X\cdot Y,Z)$ 上看看, 因为我们事先知道它关于 $X,Y,Z$ 的对称性, 所以让我们计算: $$X(g(Y\cdot Z,W))=g({\nabla }_X(Y\cdot Z),W)+g(Y\cdot Z,{\nabla }_{X}W).$$注意到 $W$ 平坦所以 ${\nabla }_{X}W=0$, 然后由于 $X,Y,Z$ 平坦我们又有$$R^{\prime }(X,Y)Z={\nabla }_X(Y\cdot Z)-{\nabla }_Y(X\cdot Z).$$这意味着 $X(g(Y\cdot Z,W))$ 关于 $X,Y$ 对称当且仅当 $R^{\prime }=0$. 由此 (1) 和 (3) 等价.

$\square$

定义 2.2. 对于一个复流形 $M$, 若其上具有前述定义的 $g,T,\nabla$ 等结构使得前述命题中的等价成立. 则称 $M$ 为一个 (复)Frobenius 流形, 从中我们自然定义了乘法 $\bullet \cdot \bullet$, 同时平坦的幺元截面 $1\in \Gamma (TM)$ 存在, 然后 $\alpha (X)=g(X,1)$ 也自然存在. 此外我们将前述函数 $\Phi$ 称为一个 (局部) 势函数, 本质上它在差一个二次的多项式意义下唯一.

特别地, 一个势函数并不一定要全局定义. 另外现在的结合律条件可以用一种抽象的, 等价的形式写出来, 假设 $(z^1,\cdots ,z^n)$ 是一组平坦的坐标系统, 记 ${\partial }_v=\frac{\partial }{\partial z^v}$ 则对一切指标 $i,j,k,l$: $$({\partial }_i{\partial }_j{\partial }_p\Phi )g^{pq}({\partial }_q{\partial }_k{\partial }_l\Phi )=({\partial }_j{\partial }_k{\partial }_p\Phi )g^{pq}({\partial }_i{\partial }_q{\partial }_l\Phi ).$$这个方程才是真的大家所熟知的那个 WDVV 方程.

$\bullet$ 另外, 在更一般的情况下我们不要求 Frobenius 流形交换, 有很多地方的 Frobenius 流形定义确实更弱一些, 此时幺元截面就未必存在. 不过还是那句话, 幺元一旦存在就自动唯一.

那么能不能换一个角度呢, 假如我们先具有乘法会怎么样. 实际上一般的:

定义 2.3. 给定一个平坦 (局部上具有常度量, 或者等价地曲率张量处处为 $0$) 光滑 Riemann 流形 $(M,g)$, 假设我们具有平坦乘法 $\bullet \cdot \bullet \in {\mathrm{Sym}}^2(T^{\ast }M)\otimes TM$, 使得结合律 $g(X\cdot Y,Z)=g(X,Y\cdot Z)$ 成立, 则称 $(M,g,\cdot )$ 为一个 Frobenius 流形.

基本性质

命题 2.4. 我们将 $\alpha (X)=g(X,1)$ 叫做迹微分 (trace differential) , 或者余单位 (co-unit), 则 $\alpha \in T^{\ast }X$ 是闭的 $1$-形式, 也就是说 $d\alpha =0$.

证明. 实际上 $\alpha$ 关于一个平坦坐标卡具有常系数, 由此根据 Riemann 几何小知识, 它的微分 $d\alpha$ 是 $0$.

$\square$

$\bullet$ 因此局部上由于 Poincare 引理存在势函数 $f$ 使得 $\alpha =df$, 这个 $f$ 也被称为 (局部) 度量势.

$\circ$ 另外, 鉴于 Frobenius 是局部定义的, 那么对于覆叠映射 $h:N\to M$, 一个 $M$ 上的 Frobenius 流形结构 $(M,g,T)$ 拉回诱导了 $N$ 上的 Frobenius 流形结构 $(N,h^{\ast }g,h^{\ast }T)$.

$\bullet$ 接下来让我们讨论 Frobenius 结构的半单性. 对于 Frobenius 代数, 它的半单性就是基代数的半单性, 这很好理解, 在这种时候用稍微代数的眼光看待这些论述: 考虑将 $T_p^{\ast }M$ 看作一个概形的基底空间, 然后上面的函数环是线性空间 $T_p^{\ast }M$ 上的全纯函数环. 然后商掉 Frobenius 代数的关系, 得到环 $(T_{p}M,\cdot )$, 就会得到一个子概形. 于是 $T_{p}M$ 半单当且仅当它既约. 由此我们可知其实满足 $p\in M$ 处的代数半单的点 $p$ 构成 $M$ 上的开集.

$\bullet$ 在半单条件下我们可以构造切空间典范的一组基.

注意到, 对于半单的有限维 $\mathbb{C}$-交换代数 $A$, $\mathrm{Spec}A$ 是若干离散的点, 这些点对应了极大理想 ${\mathfrak{m}}_1,\cdots {\mathfrak{m}}_n$, 则 ${\bigcap }_{j\ne i}{\mathfrak{m}}_j\cong \mathbb{C}$, 于是设其幺元为 $e_i$. 由此可知 $A$ 实则有一组典范的基 $\{e_i{\}}_i$. 于是对 $p\in M$ 半单点, 局部上存在 (差一个置换下唯一的) 向量场 $e_1,\cdots ,e_n$ 满足 $i\ne j$ 时 $e_i\cdot e_j=0$, 另外 $e_i\cdot e_i=e_i\ne 0$ 以及 (此时自动有)${\sum }_i{e}_i=1$.

命题 2.5. 实际上这组基向量场交换, 即 $[e_i,e_j]=0$.

证明. 我们计算$$\begin{array}{rl}0=g(R^{\prime }(e_i,e_j)e_k,e_l)=& g({\nabla }_{e_i}(e_j\cdot e_k)-e_j\cdot {\nabla }_{e_i}{e}_k-{\nabla }_{e_j}(e_i\cdot e_k)+e_i\cdot {\nabla }_{e_j}{e}_k-[e_i,e_j]\cdot e_k,e_l)\\ =& g({\delta }_{jk}{\nabla }_{e_i}{e}_k-{\delta }_{jl}{\nabla }_{e_i}{e}_k-{\delta }_{ik}{\nabla }_{e_j}{e}_k+{\delta }_{il}{\nabla }_{e_j}{e}_k-[e_i,e_j]\cdot e_k,e_l)\\ =& ({\delta }_{jk}-{\delta }_{jl})g({\nabla }_{e_i}{e}_k,e_l)-({\delta }_{ik}-{\delta }_{il})g({\nabla }_{e_j}{e}_k,e_l)-{\delta }_{kl}g([e_i,e_j],e_k).\end{array}$$令 $k=l$, 得到 $g([e_i,e_j],e_k)=0$ 对一切 $i,j,k$.

$\square$

$\circ$ 一般来说, 诸 ${\mathbf{e}}_{\mathbf{i}}$ 不一定是平坦的, $1$ 也不一定平坦, 后者平坦等价于 $\mathbf{\alpha }$ 平坦, 即 $\nabla \mathbf{\alpha }=0$. 不过我们仍然可以定义局部坐标系 $(U;z^1,\cdots ,z^n)$ 满足 $e_i={\partial }_i$. 我们称之 (局部) 典范坐标系. 特别地, 如果记 $\alpha =d\eta$ 对某全纯函数 $\eta :U\to \mathbb{C}$, 则 $g{|}_U={\sum }_v{\partial }_v\eta d{z}^v\otimes d{z}^v$. (因为 $g(e_i,e_i)=\alpha (e_i)$, 而对 $i\ne j$ 有 $g(e_i,e_j)=0$. )

局部研究

现在让我们玩一玩刚刚定义出来的局部典范坐标系, 这回我们先从 $\eta :U\to \mathbb{C}$ 全纯函数出发, 其中 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 是一个开区域. 假设 $d\eta$ 无处取 $0$, 或者说 $\eta$ 处处是浸没, 那么 $\eta$ 满足何种条件时, 才能保证 ${\partial }_1,\cdots ,{\partial }_n$ 是半单 Frobenius 结构的幂等向量场? 总结起来, 这大概意味着这些事情:

$\bullet$ 与 $\eta$ 关联的非退化双线性型 $g$ 是 Darboux–Egoroff 型的. 也就是它形如 $g:={\sum }_v{\partial }_v\eta \cdot d{z}^v\otimes d{z}^v$.

$\bullet$ 对应 $g$ 总有一个 Levi–Civita 联络 $\nabla$, 它是平坦的, 无挠的.

$\bullet$ 对应的形变张量 $R^{\prime }\equiv 0$ 恒成立.

$\bullet$ 对应乘法 $\bullet \cdot \bullet$ 的结合律成立, 这点姑且是由我们要求 ${\partial }_i^2={\partial }_i$ 以及 $i\ne j$ 时 ${\partial }_i\cdot {\partial }_j=0$ 保证的.

$\bullet$ 有些地方额外要求 $\alpha$ 平坦, 或者说 $1$ 平坦, 或者说向量场 ${\sum }_v{\partial }_v$ 是平坦的.

现在让我们计算 LC 联络 $\nabla$ 对应的 Christoffel 记号: $$g({\nabla }_{{\partial }_i}{\partial }_j,{\partial }_k)=\frac{1}{2}({\partial }_i{g}_{jk}+{\partial }_j{g}_{ik}-{\partial }_k{g}_{ij})=\frac{1}{2}(({\delta }_{jk}+{\delta }_{ik}){\eta }_{ij}-{\delta }_{ij}{\eta }_{ik}).$$也就是说, 如果 $k=i$ 或者 $k=j$, 我们得到 $\frac{1}{2}{\eta }_{ij}$; 除此之外如果 $i=j\ne k$ 则得到 $-\frac{1}{2}{\eta }_{ik}$; 其他情况也就是说 $i,j,k$ 互不相等时得 $0$.

另外, $\alpha$ 平坦或者等价地说 $1$ 平坦当且仅当 ${\sum }_j{\eta }_{ij}=0$.

引理 2.6. 此时总成立着 $R^{\prime }\equiv 0$.

证明. 现在我们的出发点是这些 ${\partial }_i$ 们两两可交换. 使用在前面计算向量场交换的 2.5 中的技术细节, 可以见到 $k=l$ 时总是 $0$, 此外由 $R^{\prime }$ 的定义 $R^{\prime }({\partial }_j,{\partial }_j)=0$. 现在不妨设 $i\ne j$ 以及 $k\ne l$. 现在我们只需计算$$({\delta }_{jk}-{\delta }_{jl})g({\nabla }_{e_i}{e}_k,e_l)=({\delta }_{ik}-{\delta }_{il})g({\nabla }_{e_j}{e}_k,e_l).$$根据前文计算的 Christoffel 符号, 如果 $i=k$ 那么必须 $j=l$ 两边才会非零, 此时都是 $\frac{1}{2}{\eta }_{ij}$; 如果 $i=l$ 那么必须 $j=k$ 两边才会非零, 此时仍都是 $\frac{1}{2}{\eta }_{ij}$. 由此 $R^{\prime }\equiv 0$ 的检查完成.

$\square$

不过请注意, $\nabla$ 并不总是平坦的! 我们可以计算它的曲率张量. 它的平坦性由所谓的 Darboux–Egoroff 方程给出, 既然诸 $e_i={\partial }_i,e_j={\partial }_j$ 可交换, 所以本质上 $R(\nabla )=0$ 即 ${\nabla }_{e_i}{\nabla }_{e_j}={\nabla }_{e_j}{\nabla }_{e_i}$. 经过一番复杂的计算, 我们把结果简记如下, 如果定义$${\gamma }_{ij}=\frac{1}{2}\frac{{\eta }_{ij}}{\sqrt{{\eta }_i{\eta }_j}},$$则现在平坦等价于下面两条: $${\partial }_k{\gamma }_{ij}={\gamma }_{ik}{\gamma }_{kj},\sum _k{\partial }_k{\gamma }_{ij}=0.$$