用户: Cybcat/曲线模空间/GW1

本节跟随 Simon C.F. Rose 的 Chapter 1 Introduction to Gromov-Witten Theory. GW 不变量是数学物理中的 (特别是弦论中的) 重要概念. 在 Wiki 中有一段关于 GW 不变量在物理中应用的描述:

GW invariants are of interest in string theory, a branch of physics that attempts to unify general relativity and quantum mechanics. In this theory, everything in the universe, beginning with the elementary particles, is made of tiny strings. As a string travels through spacetime it traces out a surface, called the worldsheet of the string. Unfortunately, the moduli space of such parametrized surfaces, at least a priori, is infinite-dimensional; no appropriate measure on this space is known, and thus the path integrals of the theory lack a rigorous definition.

The situation improves in the variation known as closed A-model. Here there are six spacetime dimensions, which constitute a symplectic manifold, and it turns out that the worldsheets are necessarily parametrized by pseudoholomorphic curves, whose moduli spaces are only finite-dimensional. GW invariants, as integrals over these moduli spaces, are then path integrals of the theory. In particular, the free energy of the A-model at genus g is the generating function of the genus g GW invariants.

我们将会在往后的故事中看到它与曲线计数, 量子上同调, 热带几何与组合数学, 还有模空间之间的密切互动.

1引子

我们的故事开始于一个描述简单但本质复杂的小问题, 有什么办法计数一个代数簇上的有理 (节点) 曲线呢?

这个问题听起来不是很良定义, 比如我们都知道平面上有无穷多条直线, 但是小学二年级学生就会明白, 过平面上两个不同的点, 恰好有且仅有一条直线. 这看起来就很有模空间的思想, 而且还会有很有意思的维数论断: 射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ 上的直线的模空间就是 ${\mathbb{P}}^2$ 自己, 假设基域 $k$, 选定一个非退化的 $k^3$ 二次型, 比如点乘后, 直线和点具有对偶 $[a:b:c]\leftrightarrow \{[x:y:z]:ax+by+cz=0\}$. 当我们要求过一个点, 此时直线的模空间明显就是 ${\mathbb{P}}^1$, 如果要求过两个不同点的话, 就只有唯一的直线了. 所以 [计数曲线] 这个问题背后暗藏的要求是: 需要我们确定一些点, 来保证模空间是 $0$ 维的.

在一般的曲线计数中, 我们也应该做类似的事情, 对于 $d$ 次曲线, 最好是取一般位置的 $n$ 个点, 这个 $n$ 的选取当然是很讲究的. 刚刚是 $d=1$ 的情况, $n=2$, 那么 $d=2$ 怎么样呢, 有的读者可能听说过, 过 ${\mathbb{P}}^2$ 上的五个点能唯一确定二次曲线, 道理其实是很简单的, 对于点 $[x_i:y_i:z_i]$ 其中 $i=1,\cdots ,5$, 我们考虑下面的多项式$$f(X,Y,Z):=\det \left[\begin{array}{cccccc}{X}^2& Y^2& Z^2& XY& YZ& ZX\\ x_1^2& y_1^2& z_1^2& x_1{y}_1& y_1{z}_1& z_1{x}_1\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ x_5^2& y_5^2& z_5^2& x_5{y}_5& y_5{z}_5& z_5{x}_5\end{array}\right].$$很明显这是一个二次曲线, 而且经过诸 $[x_i:y_i:z_i]$. 对于一般位置的点来说, 左下角的 $2\times 2$ 行列式是非零的, 这样我们就确定了这个二次曲线的非退化性. 这样 $d=2$ 时 $n=5$, 而且过它们的曲线也恰好一条, 正是上面的 $f(X,Y,Z)=0$, 当然二次曲线总是有理曲线, 所以也没有什么问题.

然而 $d=3$ 时一般情况下我们需要 $9$ 个点来确定一条三次曲线, 道理也和上面是一样的. 但是这时我们其实不想要一般的三次曲线, 因为它是椭圆曲线, 亏格 $1$ 从而不是有理曲线. 如果我们需要曲线是有理曲线, 其实在说三次曲线 $j$ 不变量为 $0$, 这个条件杀死了一维, 所以只需要 $8$ 个点就确定了一条退化 (节点) 三次曲线, 才怪! 问题在哪呢? 对于一般位置的 $8$ 个点, 实际上会有 $12$ 条节点三次曲线经过它们!

这个道理一般有两种解释. 比较简明但是实际操作复杂的道理是 $j$ 不变量是关于系数的齐 $12$ 次有理函数. 还有一种解释, 对于给定一般位置的 $8$ 个点, 实际上经过它的三次曲线是曲线系, 例如取 $p=0,q=0$ 为两条一般的经过该 $8$ 个点的三次曲线, 那么 $p=q=0$ 实际上交于 $9$ 个点. 因此经过这 $8$ 点的曲线系 $sp+tq=0$ 也自然经过这第 $9$ 个交点. 现在 ${\mathbb{P}}^2$ 爆破掉这 $9$ 个点, 得到一个欧拉示性数 $12$ 的二次曲面 $Z$. 爆破了这些点后, 经过它们的一般三次曲线是光滑的, 然而光滑三次曲线的欧拉示性数是 $0$. 所以只有奇异的三次曲线会带来欧拉数贡献, 一般位置下, 奇异点只会出现节点而没有尖点, 而一条奇异曲线贡献 $1$(因为只有一个节点), 所以过它们的奇异曲线应当有 $12$ 条.

当然了, 先不管曲线数量, 一般的 $d$ 和 $n$ 的规律依赖于下面这个定理:

引理 1.1. ${\mathbb{P}}^2$ 上的有理 $d$ 次节点曲线的模空间维数为 $3d-1$.

证明概要. 注意到 $i+j+k=d$ 一共有 $A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d+2}{2}\right)$ 个非负整数解, 这也是 $d$ 次射影曲线的系数数量, 所以 $d$ 次射影曲线的模空间维数为 $A-1$. 一般位置下, 我们其实得到一条 $g=(d-1)(d-2)/2$ 亏格的光滑曲线. 这表明为了让曲线变成有理节点曲线, 我们需要 $g$ 个节点. 而每个节点的条件应当是恰好是一个余一维条件 (还记得曲线模空间时的表现吗, 每个节点是对偶图里的一条边, 会让模空间维数减小 $1$). 这样一来 $d$ 次节点曲线的模空间维数应当为 $A-1-g=3d-1$.

$\square$

根据这个引理, 一般地, 每确定一个点就会让模空间维数减小 $1$, 所以确定 $3d-1$ 个点会让模空间变成 $0$ 维. 这样我们就把计数问题给明确下来了:

如何确定射影平面 ${\mathbb{P}}^2$ 中过一般位置 $3\mathbf{d}-1$ 个点的 $\mathbf{d}$ 次有理节点曲线的数量?

某种意义上说, 这个数量, 就是我们见到的第一个, GW 不变量. 把这个量记作 $N_d$, 我们已经见到 $N_1=N_2=1$ 然后 $N_3=12$. 紧接着, $N_4=620,N_5=87304$, 已经不小了! 这个数的大小很快就变得夸张起来, 实际上它满足递推数列 (见 OEIS 序列 $A13587$): $$N_d=\sum _{d_1+d_2=d,d_1,d_2>0}{N}_{d_1}{N}_{d_2}\left(d_1^2{d}_2^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3d-4}{3d_1-2}\right)-d_1^3{d}_2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3d-4}{3d_1-1}\right)\right).$$尽管这个公式很复杂, 但是我们会在不久的将来给出一个可以接受的证明. 这条公式最早由 Kontsevich 在上世纪末给出, 不得不说还是非常给力的.

2与模空间的邂逅

这里和前面的模空间不一样, 我们来观察所谓的稳定映射.

定义 2.1. 为方便, 设 $X$ 为光滑射影概形, 那么亏格 $g$, 带 $n$ 个标记点的到 $X$ 的稳定映射包含这样的资料:

(1) 一个算术亏格 $g$, 在光滑位置带 $n$ 个标记点的曲线 $(C;x_1,\cdots ,x_n)$ (这种曲线被叫做预稳定曲线, 就是稳定的条件去掉了有限自同构的限制).

(2) 一个映射 $f:C\to X$, 只有有限多个 (映射) 自同构, 这里自同构指一个 $(C;x_1,\cdots ,x_n)$ 到自身的映射 $h$ 使得下面的图表交换这样我们定义 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X)$ 为稳定曲线商掉映射自同构: $${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X):=\{f:(C,x_1,\cdots ,x_n)\to X:f\text{稳定}\}/\sim ,$$而 ${\mathcal{M}}_{g,n}(X)$ 表示其中光滑者商掉等价.

这个条件翻译成具体情况就是说, 对于正规化后的诸分支, 如果某亏格 $0$ 的分支被打到一个点, 则它上面需带至少三个特殊点 (标记点或节点). (以及如果某亏格 $1$ 的分支被打成一个点, 则它上面需带至少一个特殊点 (标记点或节点), 当然这第二个条件会被自动满足, 除非 $n=0$ 且同时被迫 $\beta =0$, 而这种情况并没有很大的研究价值. )

然而这里我们需要考虑更精细的模空间, 给定同调类 $\beta \in H_2(X)$. 定义: $${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta ):=\{f:(C,x_1,\cdots ,x_n)\to X:f\text{稳定},f_{\ast }[C]=\beta \}.$$按照这个记号, 前一节的例子就变得具体起来, 因为 $H_2({\mathbb{P}}_{\mathbb{C}}^2)=\mathbb{Z}$, 假设其中的上同调类 $1$ 由其中的 $2$-胞腔无穷远直线 ${\mathbb{P}}^1$ 给出, 当然直线都是光滑的, 这样自然地有: $${\overline{\mathcal{M}}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,1)={\mathcal{M}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,1)=\{{\mathbb{P}}^2\text{中的直线}\}.$$这是因为 ${\mathbb{P}}^2$ 中的直线都是差一个 ${\mathrm{PGL}}_3$ 自同构下等同的.

例 2.2. 然而事情迅速复杂起来, 我们来考虑 ${\overline{\mathcal{M}}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,2)$. 它看起来说的是 ${\mathbb{P}}^2$ 中的圆锥曲线, 其实并不是, 当然也不完全不是, 该模空间如下构成:

$\bullet$ 首先 ${\mathcal{M}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,2)$ 确实表示了 ${\mathbb{P}}^2$ 中全体光滑的圆锥曲线, 因为 ${\mathbb{P}}^1$ 打到一个光滑圆锥曲线的所有映射都只差一个自同构, 全体二次曲线是 ${\mathbb{P}}^5$, ${\mathcal{M}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,2)$ 就是其中满足如下的判别式非零 (非退化, 所以就光滑) 这个条件的, 对于 $A{x}^2+2Bxy+C{y}^2+2Dxz+2Eyz+F{z}^2=0$: $${\mathcal{M}}_{0,0}({\mathbb{P}}^2,2)=\left\{\det \left[\begin{array}{ccc}A& B& D\\ B& C& E\\ D& E& F\end{array}\right]\ne 0\right\}\subset {\mathbb{P}}^5.$$

$\bullet$ 接下来就开始有怪东西, 首先是直线的二重分歧覆叠, 这是不在前述 ${\mathbb{P}}^5$ 之中一个四维的东西. 因为确定一条直线是二维的, 确定两个分歧点又是二维的, 所以是四维的. 当然该映射是 ${\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^1$ 的二重分歧覆叠, 确定分歧点后, 在源的 ${\mathbb{P}}^1$ 自同构下该映射总是同一个: 假设 $0,\infty$ 是分歧点, 它们的像也是 $0,\infty$, 那么求解点以及导数条件, 该二次分式必为 $f(z)=c{z}^2$, 其中 $c\ne 0$, 从而它和标准 $z\mapsto z^2$ 也只差一个自同构 $z\mapsto c^{-1/2}z$.

$\bullet$ 还没完, 然后就是 ${\mathbb{P}}^2$ 中的两条不同的直线, 具有两个连通分支的节点 ${\mathbb{P}}^1$ 可以自然打到它们. 注意 ${\mathbb{P}}^2$ 中两条不同直线总相交, 节点打到交点. 这也是四维的.

$\bullet$ 再仔细地看看, 上面这个例子, 两个连通分支的节点 ${\mathbb{P}}^1$ 还可以打到同一个直线, 直线二维, 节点的像一维, 于是具有三维. 更进一步其中的映射具有 $\mathbb{Z}/2$ 自同构群, 来自交换两个连通分支.

理应不再有更多情况, 如果是具有更多连通分支的节点 ${\mathbb{P}}^1$, 像集对应的 cycle 至少也是 $3$. 尽管有很多不同维数的 stratas, 但是至少其中主要的部分是五维的开稠集.

但是事情仍然可以更加糟糕:

例 2.3. 更多例子.

让我们考虑 ${\overline{\mathcal{M}}}_{1,0}({\mathbb{P}}^2,1)$. 但问题就是, 光滑亏格 $1$ 曲线不可能一次地嵌入 ${\mathbb{P}}^2$, 所以这回 ${\mathcal{M}}_{1,0}({\mathbb{P}}^2,1)=\varnothing$ 是空集. 不过不光滑的曲线就有非平凡的例子. 考虑一个节点曲线, 亏格 $0$ 曲线和一个亏格 $1$ 曲线的单点并, 将它打到 ${\mathbb{P}}^2$ 中的一条直线, 把亏格 $1$ 曲线打到一个点. 确定直线二维, 确定交点一维, 然后还有亏格 $1$ 曲线的模空间一维, 所以一共四维, 也就是$$\dim {\overline{\mathcal{M}}}_{0,1}({\mathbb{P}}^2,1)+\dim {\overline{\mathcal{M}}}_{1,1}=3+1=4.$$

又如 ${\overline{\mathcal{M}}}_{1,0}({\mathbb{P}}^2,3)$. 首先 ${\mathcal{M}}_{1,0}({\mathbb{P}}^2,1)$ 包含 ${\mathbb{P}}^2$ 中非退化三次曲线, 也就是前述 ${\mathbb{P}}^9$ 里面的一个开子簇, 这次它不是空集了, 然而它的 [边界] 的维数还是可以比它大. 实际上像先前那样考虑亏格 $0$ 曲线和一个亏格 $1$ 的曲线的单点并, 将它打到 ${\mathbb{P}}^2$ 中的一条退化三次曲线, 然后亏格 $1$ 的曲线缩成一个点. 实际上退化三次曲线占了八维, 带上一个特殊点 (节点) 一维, 以及亏格 $1$ 曲线的模空间一维, 所以一共十维, 或者说$$\dim {\overline{\mathcal{M}}}_{0,1}({\mathbb{P}}^2,3)+\dim {\overline{\mathcal{M}}}_{1,1}=9+1=10.$$

使用 Riemann–Roch 定理, 模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )$ 其实有一个所谓的虚拟维数为$$\mathrm{vdim}{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )=(\dim X-3)(1-g)+{\int }_{\beta }{c}_1(T_X)+n.$$当然 ${\int }_{\beta }{c}_1(T_X)=-K_X\cdot \beta$, 借助这些数据, 我们来看 $X={\mathbb{P}}^2$, 此时我们有 $-K_X=\mathcal{O}(3)$, 它与直线对应的线丛 $\mathcal{O}(1)$, 从而 $\mathcal{O}(d)$ 和它的相交数为 $3d$. 这样我们就算出: $$\mathrm{vdim}{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}({\mathbb{P}}^2,d)=3d+g+n-1.$$对比我们上面的四个例子, $(g,n,d)$ 分别为 $(0,0,1),(0,0,2),(1,0,1),(1,0,3)$ 分别算出 $2,5,3,9$.

它之所以被称为虚拟维数, 是因为我们见到了它计算出的值并不是模空间的真实维数, 实际上即便模空间光滑也不行. 那么它到底在计算什么呢? 它计算的是周环 (或者说上同调) 中的虚拟基本类的次数. 现在我们来解释这一计算:

首先 $n$ 个标记点贡献 $n$ 维无疑, 所以为便利记 $n=0$. 现在 $\mu :C\to X$ 为 $\overline{\mathcal{M}}:={\overline{\mathcal{M}}}_{g,0}(X,\beta )$ 中一个处在一般位置的映射. [如果一切都足够好] 那么可不妨假设 $C$ 是光滑的且 $\mu$ 是闭浸入. 这时候 $\mu$ 的法丛表现良好, 记作 $N_{\mu }$, 依定义它满足 (法丛正合列)$$0\to T_C\to {\mu }^{\ast }{T}_X\to N_{\mu }\to 0.$$

如果进一步假设 $\overline{\mathcal{M}}$ 在该点处光滑, 那么 Kodaira–Spencer 映射给出 $\overline{\mathcal{M}}$ 在点 $\mu$ 处的切空间与 $H^0(C,N_{\mu })$ 的同构, 因为后者是 $\mu$ 的一阶无穷小形变. 现在 HRR 给出$$\begin{array}{rl}{h}^0(C,N_{\mu })-h^1(C,N_{\mu })& =(\dim X-1)(1-g)+{\int }_C{c}_1(N_{\mu })\\ & =(\dim X-1)(1-g)+{\int }_C{c}_1({\mu }^{\ast }{T}_X)-{\int }_C{c}_1(T_C)\\ & =(\dim X-1)(1-g)+{\int }_{\beta }{c}_1(T_X)-2(1-g)\\ & =(\dim X-3)(1-g)+{\int }_{\beta }{c}_1(T_X).\end{array}$$

特别的, 如果一阶无穷小形变没有碰到任何障碍, 就立刻有 $H^1(C,N_{\mu })=0$, 从而得到了我们需要的公式. 另一方面我们也看到了 $h^1(C,N_{\mu })$ 就是更一般情况下的维数差. 实际上上面的短正合列诱导长正合列$$\begin{array}{rlrlrlrlr}0& ⟶& H^0(C,T_C)& ⟶& H^0(C,{\mu }^{\ast }{T}_X)& ⟶& H^0(C,N_{\mu })& & \\ & ⟶& H^1(C,T_C)& ⟶& H^1(C,{\mu }^{\ast }{T}_X)& ⟶& H^1(C,N_{\mu })& ⟶& 0.\end{array}$$在形变理论里, 每一项都多少有点意思或者特殊的解释, 首先最左边的两项只与 $C$ 有关, $H^0(C,T_C)$ 是 $C$ 的一阶无穷小自同构的空间, $H^1(C,T_C)$ 是 $C$ 的一阶形变 (请区分形变与自同构) 即 ${\overline{M}}_{g,0}$ 的维数 (当然曲线的形变没有障碍, 具有 Torelli. 所以才这样写). 而中间的两项则描述了固定 $C$ 的映射的形变, $H^0(C,{\mu }^{\ast }{T}_X)$ 是这些形变的空间而 $H^1(C,{\mu }^{\ast }{T}_X)$ 是其障碍. 最右边两项我们已经见到了, 分别是 $\mu$ 的一阶无穷小形变的空间 $H^0(C,N_{\mu })$ 及其障碍 $H^1(C,N_{\mu })$.

最后是关于标记点的问题, 我们知道 $h^0({\mathbb{P}}^1,T_{{\mathbb{P}}^1})=3$, 因为 ${\mathbb{P}}^1$ 的自同构群是三维的. 这表明 ${\mathbb{P}}^1$ 不是稳定曲线, 为了修复这个问题, 我们需要标记点 (当然标记点还有其他用途, 见下一节), 假设标记点是 $p_1,p_2,p_3$, 我们这回来看$$h^0({\mathbb{P}}^1,T_{{\mathbb{P}}^1}(-p_1-p_2-p_3))=0.$$类似的, 我们也要处理剩下两个向量丛, 所以我们其实做的是将整个法丛短正合列都 twist 一个 ${\mathcal{O}}_C(-\sum p_i)$, 然后再按部就班地导出长正合列, 做完剩下的工作后, 标记点就自然地包含在理论体系之中.

3GW 不变量

回到主线, 本节的目的其实是对前述这些定义和现象给出一个抽象但粗略的 formalisation.

我们现在定义并简单地研究了模空间 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )$, 当然很想要利用它来数曲线. 之前说了在理想情况下, 它光滑紧合而且各连通分支都具有如我们期待的维数, 这些假设都是为了理论使用的方便, 比如相交理论, 先来看看在这些好的假设下我们能做多少事情.

这里我们就看到标记点的第二个用途了, 引入到 $X$ 的赋值映射 (evaluation maps), 考虑$${\mathrm{ev}}_i:{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )\to X,(f:(C;x_1,\cdots ,x_n)\to X)\mapsto f(x_i).$$简单来看就是在标记点取值. 但是它们对 GW 不变量的引入极其重要! 我们先考虑 $X$ 的一些子簇 $V_1,\cdots ,V_n$, 假设它们的同调类具有的 Poincare 对偶为 ${\gamma }_i\in H^{n_i}(X)$, 能考虑 ${\mathrm{ev}}_i^{\ast }{\gamma }_i$, 这个上同调类代表了稳定映射 $f:C\to X$ 满足 $f(x_i)\in V_i$ 者. 然后注意到上同调杯积 $⌣$ 对应在流形一侧的交, 这就启发我们考虑 ${\mathrm{ev}}_1^{\ast }{\gamma }_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{\gamma }_n$, 它对应了同时对一切 $i$ 满足 $f(x_i)\in V_i$ 的 $f$ 对应的同调类. 由于模空间允许这 $n$ 个点在 $C$ 上 “任意移动”, 所以实际上 ${\mathrm{ev}}_1^{\ast }{\gamma }_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{\gamma }_n$ 表示的是 [$f:C\to X$ 的映射, 满足像 $f(C)$ 与每个 $V_i$ 都相交] 的 $f$ 在模空间里的上同调类.

特别地, 如果它对应了 $H^{\ast }({\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta ))$ 中的顶维上同调类, 那么它对应的恰是符合条件的曲线的数量! 也就是说, 同调信息反映了计数几何 (enumerative geometry) 的信息. 也就是说, 如果我们考虑下面的积分$${\int }_{{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )}{\mathrm{ev}}_1^{\ast }{\gamma }_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{\gamma }_n,$$则它的数量恰好反映了 $X$ 上亏格 $g$ 的, 与 $V_1,\cdots ,V_n$ 相交的曲线数量. 不过这里有一些特别的注意事项, 一般来说, 我们会将 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )$ 作为一个叠来看待, 这导致计算它上的积分时需要带权, 通常的表现是, 对带有有限的自同构的对象计数需要将对应数除以自同构的阶数, 这导致积分算出来不一定是正整数 (不过是有理数), 这是一个 feature 而不是一个 bug.

虚拟基本类 (本节施工中)

然后又是这个老生常谈的问题, 前文说到我们考虑的模空间最好是光滑紧合而且各连通分支都具有如我们期待的维数, 这里只有光滑性在一般情况下是比较容易出问题的, 所以我们需要引入所谓的 Behrend-Fantechi 构造, 也就是前面提到的虚拟基本类, 以保证正确处理计数问题, 记 $[{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta ){]}^{\mathrm{vir}}$, 表示的是一个满足包括具有等于期待维数的纯维数和一些其他条件者.

然后在虚拟基本类的英文 Wiki 页面上有这样一段内容, 用以展示虚拟基本类提出的动机, 算是一个 minimal working example:

例 3.1. 假设有代数簇 $X$, 对应某模问题 $\mathcal{X}$ 的粗模空间, 它由一个背景光滑空间 $Y$ 由一个秩 $r$ 向量丛 $E\to Y$ 的截面 $s$ 给出. 如果 $n:=\dim Y$, 那么 $X=Z(s)$ 很自然应该具有虚拟维数 $n-r$, 为什么我们说虚拟维数, 因为如果 $s$ 像微分几何那样和平凡截面 $0$ 横截相交, 那么 $Y$ 的维数确实是真实的 $n-r$. 如果不横截, 不过碰巧存在 $E^{\prime }\subset E$ 向量子丛使得 $s\in E^{\prime }$ 且横截, 于是人们考察 $E/E^{\prime }$ 的 Euler 类, 因为这里 $E/E^{\prime }$ 承担了 $X$ 在 $Y$ 中法丛的地位.

这里 Euler 类是怎么来的呢? 实际上设闭浸入 $X\subset Y$ 的理想层为 $\mathcal{I}$, 那么 $X$ 的所谓正规锥为$$C_{X}Y:={\mathcal{S}pec}_X\left(\underset{k=0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathcal{I}}^k/{\mathcal{I}}^{k+1}\right).$$这里的 $\mathcal{S}pec$ 表示相对谱, 那么与 $s$ 配对得到满射 $s:\mathcal{O}(E^{\ast })\to \mathcal{I}$, 诱导满射$$\underset{k}{⨁}{\mathrm{Sym}}^k(\mathcal{O}(E^{\ast })/\mathcal{I}\mathcal{O}(E^{\ast }))\to \to \underset{k}{⨁}{\mathcal{I}}^k/{\mathcal{I}}^{k+1}.$$进而 $C_{X}Y\hookrightarrow E{|}_X$, 基本类 $[C_{X}Y]\in A_n(E{|}_X)$ 的拉回就是 $s^{\ast }[C_{X}Y]\in A_{n-r}(X)$. 它具有正确的维数刻画, 实际上此时 $i_{\ast }(s^{\ast }[C_{X}Y])\in A_{n-r}(Y)$ 就是 $E$ 的 Euler 类.

对于概形 $X$ 嵌入光滑概形 $Y$, 记 $i:X\hookrightarrow Y$, 给定一个障碍丛 (obstruction bundle)$\pi :E_{X/Y}\to X$ (所谓障碍丛就是)

注 3.2. 在很多关于 GW 不变量的介绍中, 我们很可能忽略许多关于虚拟基本类的技术细节, 实际上我们也经常把它当作普通的基本类来看待. 对于这二者可能带来差异的情况, 我们尽量在我们的介绍中明显地标注.

GW 不变量的定义

现在我们来定义 GW 不变量:

定义 3.3 (GW 不变量). 对 ${\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n\in H^{\ast }(X)$, 我们定义它的 GW 不变量为$$⟨{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n{⟩}_{g,\beta }^X:={\int }_{[{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta ){]}^{\mathrm{vir}}}{\mathrm{ev}}_1^{\ast }{\gamma }_1⌣\cdots ⌣{\mathrm{ev}}_n^{\ast }{\gamma }_n.$$由于虚拟维数的关系, 只有在 ${\sum }_{i=1}^n\mathrm{deg}{\gamma }_i=2\mathrm{vdim}{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )$ 时 GW 不变量才可能非零.

如此一来, 我们终于能给出下面的例子.

例 3.4. 从前一节中关于计数几何的细节, 我们得知如下的不变量$$N_d=⟨\underset{3d-1}{\underbrace{\mathrm{pt},\cdots ,\mathrm{pt}}}{⟩}_{0,d}^{{\mathbb{P}}^2}$$正是 ${\mathbb{P}}^2$ 上过 $3d-1$ 个点的次数 $d$ 有理曲线的条数.

那么这有什么好处呢? 至少从形式上看, 我们并没有简化问题本身, 我们做的事情无非是将原本的计数问题换成了一个复杂抽象的形式化计算. 然而, 好处就藏在模空间中. 这些模空间之间也能像我们在先前曲线模空间中那样考虑, 定义很多映射, 让我们从一些遗忘映射开始: $${\pi }_{n+1}:{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n+1}(X,\beta )\to {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta ).$$它自然地将 $f:(C,x_1,\cdots ,x_{n+1})\to X$ 打到忘掉第 $n+1$ 个标记点的 $f:(C,x_1,\cdots ,x_n)\to X$.

然后我们还可以忘点别的, 当然下面这个用的不多, 我们可以将 $X$ 和映射给忘掉, 只保留曲线本身, 得到$$\pi :{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}(X,\beta )\to {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}.$$当然需要一些条件, 比如 $2g-2+n>0$, 当然这并不紧要, 我们的核心在于 GW 不变量也可以这样定义: 于是我们可以这样定义 GW 不变量$$⟨{\gamma }_1,\cdots ,{\gamma }_n{⟩}_{g,\beta }^X:={\pi }_{\ast }{\mathrm{ev}}^{\ast }({\gamma }_1\times \cdots \times {\gamma }_n)⌢[{\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}].$$这因为 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 是光滑 orbifold(轨形) 所以它具有良定的基本型.

但是仍需说明的是, 遗忘映射也是有一些限制的, 例如上述 $\pi$, 它会把下面的 $C$ 遗忘成 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 中一个不稳定的曲线这个亏格 $0$ 的曲线带四个标记点 $1,2,3,4$, 它自是不必将亏格 $0$ 不可约分支打到一个点, 所以它可以是稳定曲线映射, 同时它自身不稳定. 所以在遗忘的时候需要进行所谓稳定化 (stable reduction), 很自然地将上述曲线稳定化为一个不可约分支上带有四个标记点, 如下所示. (不过对一般的曲线来说, 这里的仍然有深刻的技术细节, 和遗忘映射的使用类似)