计数几何

计数几何是代数几何的分支, 研究代数几何中的计数问题, 即如何计算某类几何对象的数目, 例如两条曲线有多少个交点、代数簇上有多少条直线, 等等. 典型的例子包括:

•	Bézout 定理, 给出平面上两条代数曲线的交点数.

•	Schubert 演算, 给出 Graßmann 簇上一些闭子簇的交点个数.

•	$27$ 条直线, 三次曲面上的直线数.

•	$2875$ 条直线, 五次三维簇上的直线数.

•	$3264$ 条曲线, 平面上与五条给定一般位置的圆锥曲线相切的圆锥曲线数.

•	Apollonius 问题, 在平面与 3 个给定一般位置的圆相切的圆的数目为 8.

这类问题很多都能通过相交论, 特别是陈类的理论, 来解决.

现代的计数几何使用模空间和模叠的工具. 这使我们能够更深入地讨论计数问题. 例如, 我们可以将某类对象的计数问题, 即模空间有多少个点的问题, 推广为研究模空间的性质, 特别是那些非离散 (从而有无限个点) 的模空间. 另外, 通过虚拟基本类等工具, 也发展出计数不变量的理论, 也就是当模空间性质变坏, 不再是一些离散的点时, 找到模空间的某些在形变下不变的性质, 然后通过形变, 由那些好的模空间来计算这些坏的模空间.

术语翻译

计数几何 • 英文 enumerative geometry • 德文 abzählende Geometrie (f) • 法文 géométrie énumérative (f)