Euler 类

Euler 类是定向实向量丛的一个示性类. 它刻画了向量丛的 “扭曲程度”: 它是向量丛的处处非零截面存在的障碍, 即向量丛存在处处非零截面当且仅当其 Euler 类为 $0$.

Euler 类的名称来源于 Euler 示性数: 定向微分流形的切丛的 Euler 类的积分即为此微分流形的 Euler 示性数.

1定义

定义 1.1. 设 $E\to B$ 是 $n$ 维定向实向量丛. 设 $u\in H^n(E,E\backslash B)$ 为 $E$ 的 Thom 类.

则 $E$ 的 Euler 类定义为$$e(E)=i^{\ast }u\in H^n(B).$$其中 $i:B\to E$ 是 $0$ 截面.

注 1.2. 按定义, 若将向量丛的定向反向, 则 Euler 类变为原来的 $(-1)$ 倍.

注 1.3. 在上述定义中, 亦可将上同调 $H^n$ 改为 $R$-系数奇异上同调 $H^n(-;R)$. 若 $R=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, 得到的类就是 $n$ 次 Stiefel–Whitney 类.

2性质

命题 2.1 (函子性). 对任意映射 $f:B^{\prime }\to B$, $e(f^{\ast }(E))=f^{\ast }(e(E))$.

命题 2.2. 设 $E\to B,E^{\prime }\to B^{\prime }$ 是两个 $n$ 维定向实向量丛, 则 $E\times E^{\prime }\to B\times B^{\prime }$ 的 Euler 类为$$e(E\times E^{\prime })=e(E)⊠e(E^{\prime }).$$

命题 2.3 (Whitney 乘积公式). 设 $E,E^{\prime }\to B$ 是两个 $n$ 维定向实向量丛, 则 $E\oplus E^{\prime }\to B$ 的 Euler 类为$$e(E\oplus E^{\prime })=e(E)\cup e(E^{\prime }).$$

命题 2.4. 实定向向量丛 $E\to B$ 具有处处非零截面当且仅当 $e(E)=0$.

命题 2.5. Euler 类刻画了 “一般截面的零点”, 严格叙述如下.

设 $B$ 为 $m$ 定向光滑流形, $E\to B$ 是 $n$ 维定向实光滑向量丛, $n\le m$. 设 $\sigma :B\to E$ 是与零截面横截相交的光滑截面, $Z=\{x\in B:\sigma (x)=0\}$. 则 $Z$ 是余 $n$ 维子流形, 且 $e(E)$ 即为 $Z$ 在 Poincaré 对偶下的上同调类.