用户: Cybcat/曲线模空间/JS第六讲

1第六讲

随着 $g,n$ 逐渐增大, 我们看到空间 ${\overline{M}}_{g,n}$ 逐渐变得复杂. 研究复杂空间的一种办法就是研究拓扑不变量, 其中最常见的就是奇异同调群, 然后就是其上的相交理论. 之前我们已经提到过, 紧化空间的目的之一就是研究其拓扑. 有时候我们会看见用模叠 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 会让事情更方便, 但大多数时候, 为了初学者方便理解, 我们还是研究 ${\overline{M}}_{g,n}$, 仅在一些必须用到叠的时候才用.

阶层 (strata) 的相交

回忆我们知道 $\overline{M}={\bigcup }_{\Gamma }{M}^{\Gamma }$ 是全体阶层的并. 另一方面我们也看到粘接映射给出: $${\xi }_{\Gamma }:{\overline{M}}_{\Gamma }=\prod _{v\in V(\Gamma )}{\overline{M}}_{g(v),n(v)}\to {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}.$$本节中我们想要清晰地回答两个问题:

a) 对于稳定图 $\Gamma$, ${\overline{M}}^{\Gamma }$ 中的曲线

相交理论速通

本小节我们将速成复代数簇的相交理论. 为了简单考虑先观察 $X$ 是光滑紧合簇的情形. 最后我们希望将这应用在光滑的叠 $X={\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 之上, 尽管它不是代数簇, 但是一个重要的事实是 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}\to {\overline{M}}_{g,n}$ 仍然给出上同调环的同构映射 $H^{\ast }({\overline{\mathcal{M}}}_{g,n})\stackrel{\sim }{\to }{H}^{\ast }({\overline{M}}_{g,n})$, 结论上说, 虽然在哪里计算上同调并不紧要, 但是事情在光滑的对象上看起来更好. 尽管我们学习的是代数簇上的相交理论, 但是很多时候我们都假装事情在代数叠上也照常工作, 尤其是对于很好的叠 ${\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$. 但当二者出现区别的时候我们也会指出.

同调群基本事实

$\bullet$ 本节中, 对于我们假设 $X$ 是光滑连通紧合复代数簇, 维数为 $d$, 研究的对象主要是 $X$ 的复点集 $X(\mathbb{C})$, 它也是一个复流形. 而且对应的同调群, 上同调群, 也都是特征 $0$ 域系数的, 也就都从 $\mathbb{Q}$ 系数的基变换而来. $$H_{\ast }(X):=H_{\ast }(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}),H^{\ast }(X):=H^{\ast }(X(\mathbb{C}),\mathbb{Q}).$$熟知当 $k<0,k>2d$ 时 $k$ 维的同调和上同调都平凡, $0,2d$ 维的同调和上同调都是 $\mathbb{Q}$, 这是基本的事实.

帽积及杯积

$\bullet$ 对于 $\sigma \in H_k(X)$ 以及 $\alpha \in H^l(X)$, 能定义帽积 $\sigma ⌢\alpha \in H_{k-l}(X)$, 给出如下的配对$$H_k(X)\otimes H^k(X)\to H_0(X)\cong \mathbb{Q},\sigma \otimes \alpha \mapsto \sigma ⌢\alpha .$$该配对非退化, 给出了 $H^k(X)\cong H_k(X{)}^{\vee }$. 注意这里因为连通性所以 $H_0(X)\cong \mathbb{Q}$ 是按 $[P]\mapsto 1$ 给出的. 但是一般地, 对于 DM 叠 $X$ 来说, $[P]\mapsto 1/\#\mathrm{Aut}(P)$, 例如 $P=(C;p_1,\cdots ,p_n)\in {\overline{\mathcal{M}}}_{g,n}$ 就有 $\mathrm{Aut}(P)=\mathrm{Aut}(C;p_1,\cdots ,p_n)$.

$\bullet$ 然后对于 $\alpha \in H^k(X)$ 以及 $\beta \in H^l(X)$, 我们能定义杯积 $\alpha ⌣\beta \in H^{k+l}(X)$, 给出$$H^k(X)\otimes H^l(X)\to H^{k+l}(X),\alpha \otimes \beta \mapsto \alpha ⌣\beta .$$杯积是反交换的, 结合的, 即对 $\alpha \in H^k(X),\beta \in H^l(X),\gamma \in H^m(X)$, 我们有$$\alpha ⌣\beta =-(\beta ⌣\alpha ),(\alpha ⌣\beta )⌣\gamma =\alpha ⌣(\beta ⌣\gamma ).$$全上同调 $H^{\ast }(X)$ 作为 $\mathbb{Q}$-有限维线性空间在杯积运算下构成的 $\mathbb{Q}$ 系数的 ${\mathbb{Z}}_{\ge 0}$-分次环被称为上同调环. 例如对 $X={\mathbb{P}}^n$, 我们有 $H^{\ast }(X)=\mathbb{Q}[H]/(H^{n+1})$ 这里 $H$ 为超平面的代表类, 分次中活在 $2$ 次 (详见下文关于基本类以及 Poincaré 对偶的部分).

$\bullet$ 特别地, 帽积与杯积具有融贯性: $$\sigma ⌢(\alpha ⌣\beta )=(\sigma ⌢\alpha )⌢\beta .$$

基本类

$\bullet$ 对闭子簇 (既约) $Z\subset X$, 我们能定义其定义的基本类, 实际上它总带有有限三角剖分, 从而带有复形结构, 在此基础上还能要求奇异子簇 $Z_{\mathrm{sing}}$ 是其子复形, 从而能由之定义拓扑基本类 $[Z]\in H_{2e}(X)$, 其中 $e$ 是 $Z$ 的复维数, 自然地其具有实维数 $2e$. 特别地, $X$ 本身也对应基本类 $[X]\in H_{2d}(X)$, 其中 $X$ (复) 维数为 $d$, 那么实维数 $2d$.

前面我们要求既约, 那么对于不既约的闭子概形, 定义其基本类时只需按照重数记. 设其不可约分支 $Z_1,\cdots ,Z_r$, 则 $[Z]=\sum m_i[Z_i]$, 其中重数对应的是 $Z$ 在 $Z_i$ 一般点的重数, 即 (因为原先的环 Noether, 因此局部化后得到局部 Artin 环, 所以作为自身的模具有有限长度)$$m_i=\mathrm{length}({\mathcal{O}}_{Z,Z_i}).$$

Poincaré 对偶

$\bullet$ 我们有 Poincaré 对偶, $X$ 的条件 (光滑连通紧合) 给我们带来杯积的配对: $$H^k(X)\otimes H^{2d-k}(X)\to H^{2d}(X)\cong \mathbb{Q},\alpha \otimes \beta \mapsto \alpha ⌣\beta .$$其中 $H^{2d}(X)\cong \mathbb{Q}$ 按积分给出: $${\int }_X\alpha :=\mathrm{deg}\alpha =\mathrm{deg}([X]⌣\alpha ),\alpha \in H^{2d}(X).$$该配对非退化. 利用这个配对得到等同 $H^k(X)\cong H^{2d-k}(X{)}^{\vee }$. 结合前文帽积的配对, 就得到$$H^k(X)\cong H_{2d-k}(X),\alpha \mapsto [X]⌢\alpha .$$在这一等同下, 前文所述之超平面 ${\mathbb{P}}^{n-1}\subset {\mathbb{P}}^n$ 对应 $[{\mathbb{P}}^{n-1}]\in H_{2n-2}(X)$, 自然成为一个 $H^2(X)$ 中的元素 (一种理解方法是看作除子). 顺便说, 在这种等同下, $[{\mathbb{P}}^{n-1}{]}^j=[{\mathbb{P}}^{n-j}]$, 因为全体同维数的线性子空间都 [同调] (对应同一个同调类, 所以可以使用一些移动引理类似的技术进行微扰相交, 得到低维线性子空间, 当然, 如果是拓扑地理解同一个同调类也可以利用 ${\mathbb{P}}^n$ 的自同构群).

前推和拉回

$\bullet$ 前推和拉回, 设 $X,Y$ 为复维数 $d,e$ 的连通光滑紧合簇, $f:X\to Y$ 映射诱导了 $f:X(\mathbb{C})\to Y(\mathbb{C})$, 它进一步诱导拓扑上的前推和拉回$$f_{\ast }:H_k(X)\to H_k(Y),f^{\ast }:H^l(Y)\to H^l(X).$$其中拉回在上同调上和杯积融贯, 即具有恒等式$$f^{\ast }(\alpha ⌣\beta )=(f^{\ast }\alpha )⌣(f^{\ast }\beta ).$$有趣的事情是, 利用 Poincaré 对偶中介绍的将同调与上同调对应起来的办法, 前推其实给出了映射$$f_{\ast }:H^l(X)\to H^{l+2(e-d)}(Y).$$这样我们其实就能在上同调类里讨论推出和拉回, 它们不仅有函子性, 而且还有一些极其重要的性质:

$\bullet$ 投影公式, 设 $\alpha \in H^{\ast }(X),\beta \in H^{\ast }(Y)$, 那么我们总有$$f_{\ast }((f^{\ast }\beta )⌣\alpha )=\beta ⌣f_{\ast }\alpha .$$实际上在拓扑空间的映射里 $\sigma \in H_{\ast }(X),\beta \in H^{\ast }(Y)$ 总有$$f_{\ast }((f^{\ast }\beta )⌢\sigma )=\beta ⌢(f_{\ast }\sigma ).$$然后取 Poincare 对偶就得到上述形式.

紧合前推与平坦拉回

比起一般的拓扑理论, 代数上我们能对映射 $f$ 提更多条件以研究其性质:

$\bullet$ 若 $f:X\to Y$ 紧合, 则对子概形 $Z\subset X$, $Z^{\prime }:=f(Z)\subset Y$ 将是子概形, 而且$$f_{\ast }[Z]=\{\begin{array}{ll}\mathrm{deg}(Z/Z^{\prime })\cdot [Z^{\prime }],& \dim Z=\dim Z^{\prime },\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$这里 $\mathrm{deg}(Z/Z^{\prime })$ 是相对次数, 一种刻画方法是观察域扩张 $\mathbb{C}(Z)/\mathbb{C}(Z^{\prime })$ 的次数, 另一种就是看一般点的原像数量.

$\bullet$ 若 $f:X\to Y$ 平坦, 则对子概形 $Z\subset Y$, $Z^{\prime }:=f^{-1}(Z)=X{\times }_{Y}Z\to X$ 是一个闭子概形, 此时$$f^{\ast }[Z]=[Z^{\prime }].$$

$\bullet$ 神奇之处在于推出和拉回间也有完美的融贯性, 设 $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime }$ 都是连通光滑紧合概形, 且具有纤维积图表其中 $f$ 紧合, $g$ 平坦. 那么 $f^{\prime }$ 紧合, $g^{\prime }$ 平坦, 而且对一切 $\alpha \in H^{\ast }(X)$ 我们有$$g^{\ast }{f}_{\ast }\alpha =(f^{\prime }{)}_{\ast }(g^{\prime }{)}^{\ast }\alpha \in H^{\ast }(Y^{\prime }).$$

例 1.1. 一个颇有启发性的典例: 计算一个 ${\mathbb{P}}^n$ 中 $d$ 次超平面的基本类.

设 $F\in \mathbb{C}[X_0,\cdots ,X_n{]}_d$ 为齐 $d$ 次多项式, 记其零点集为 $\mathcal{V}(F)\subset {\mathbb{P}}^n$. 下面我们考虑 ${\mathbb{P}}^N=\mathbb{P}(H^0({\mathbb{P}}^n,\mathcal{O}(d)))$, 并定义如下的万有超曲面: 不难检查簇 $\mathcal{H}$ 紧合 (射影) 连通而且光滑 (局部检查光滑最简单, 对局部 $X_0=0$, 多项式关于 ${\mathbb{P}}^N$ 中的某个分量将是一次的)! 两侧的投影 ${\pi }_1,{\pi }_2$ 都平坦紧合, 现在对一个点 $[F]\in H^{2N}({\mathbb{P}}^N)$, 我们根据这一小节的计算公式得到$$[\mathcal{V}(F)]=({\pi }_2{)}_{\ast }({\pi }_1{)}^{\ast }[F]\in H^2({\mathbb{P}}^n).$$因为 ${\mathbb{P}}^N$ 连通, 所以其中所有点都同调等价, 故 $[F]=[X_0^d]$, 这样经过拉回推出就得到$$[\mathcal{V}(F)]=[\mathcal{V}(X_0^d)]=d\cdot [X_0].$$

Chern 类

$\bullet$ 给定 $X$ 上的线丛 $\mathcal{L}$, 我们能将它对应到同调类 $c_1(\mathcal{L})\in H^2(X)$. 熟知对第一 Chern 类来说, 线丛 $\mathcal{L}$ 若对应除子 $D=\sum a_i{D}_i$, 则其 Chern 类为 $[D]=\sum a_i[D_i]$.

由此可知, 对线丛 ${\mathcal{L}}_1,{\mathcal{L}}_2,\mathcal{L}$, 我们有$$c_1({\mathcal{L}}_1\otimes {\mathcal{L}}_2)=c_1({\mathcal{L}}_1)+c_1({\mathcal{L}}_2),c_1({\mathcal{L}}^{\vee })=-c_1(\mathcal{L}).$$

$\bullet$ 对于一般的向量丛和一般的 Chern 类, 我们需要使用的仅是一种极特殊的情形, 若 $\mathcal{E}={⨁}_{i=1}^r{\mathcal{L}}_i$ 是 $r$ 个线丛直和得到的向量丛, 则$$c_{\mathrm{top}}(\mathcal{E})=c_r(\mathcal{E})=c_1({\mathcal{L}}_1)⌣\cdots ⌣c_1({\mathcal{L}}_r).$$

局部完全交与过度丛

过度相交公式

因为我们马上就要研究对于稳定图 $\Gamma$, $({\xi }_{\Gamma }{)}_{\ast }$ 前推的表现, 也就是需要观察 $\alpha \in H^{\ast }({\overline{\mathcal{M}}}_{\Gamma })$ 的前推像. 为此我们需要一个重要的公式, 它处理一些局部完全交. 特别地, ${\xi }_{\Gamma }$ 是叠的局部完全交映射.

$\bullet$ 若 $X,X^{\prime },Y,Y^{\prime }$ 为光滑连通紧合代数簇, 且我们有纤维积图表其中 $g,g^{\prime }$ 为局部完全交, 余维数分别为 $d,d^{\prime }$, 而 $f,f^{\prime }$ 紧合, 那么对 $\alpha \in H^{\ast }(X)$ 我们有$$g^{\ast }{f}_{\ast }(\alpha )=(f^{\prime }{)}_{\ast }(c_{\mathrm{top}}(E)⌣(g^{\prime }{)}^{\ast }\alpha )\in H^{\ast }(Y).$$其中 $E$ 是如下的秩 $d-d^{\prime }$ 的 $X^{\prime }$ 上的向量丛 (它被称为过度丛): $$E=((f^{\prime }{)}^{\ast }{N}_{Y/Y^{\prime }})/N_{X/X^{\prime }}.$$这个结论看起来非常复杂, 不过借助下面的例子, 我们或许可以理解它在做什么.

一些典例与练习

例 1.2. 设 $i:{\mathbb{P}}^1\to {\mathbb{P}}^2$ 就是正常将一条线嵌入射影平面. 我们已经知道 $i_{\ast }[{\mathbb{P}}^1]=H$ 以及 $H^2=\mathrm{pt}=1$. 但是我们试图牛刀杀鸡, 试图用过度相交公式来证明此事, 考虑纤维积图表: 首先是利用 $[{\mathbb{P}}^1]=1\in H^0({\mathbb{P}}^1)$ 以及投影公式, 我们有$$H^2=H⌣H=(i_{\ast }[{\mathbb{P}}^1])⌣(i_{\ast }[{\mathbb{P}}^1])=i_{\ast }(i^{\ast }{i}_{\ast }[{\mathbb{P}}^1]⌣[{\mathbb{P}}^1])=i_{\ast }(i^{\ast }{i}_{\ast }[{\mathbb{P}}^1]).$$然后使用过度相交公式计算 $i^{\ast }{i}_{\ast }[{\mathbb{P}}^1]$ 得到$$i^{\ast }{i}_{\ast }[{\mathbb{P}}^1]=c_{\mathrm{top}}(E)⌣[{\mathbb{P}}^1]=c_{\mathrm{top}}(E).$$现在计算过度丛 $E=N_{{\mathbb{P}}^2/{\mathbb{P}}^1}/N_{{\mathbb{P}}^1/{\mathbb{P}}^1}=N_{{\mathbb{P}}^2/{\mathbb{P}}^1}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}([{\mathbb{P}}_1]){|}_{{\mathbb{P}}^1}$, 于是$$N_{{\mathbb{P}}^2/{\mathbb{P}}^1}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(1){|}_{{\mathbb{P}}^1}={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(1),$$由此 $c_{\mathrm{top}}(E)=c_1({\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(\mathrm{pt}))=[\mathrm{pt}]\in H^2({\mathbb{P}}^1)$. 然后将它沿着 $i$ 前推到 ${\mathbb{P}}^2$ 就得到 $H^2=[\mathrm{pt}]\in H^4({\mathbb{P}}^2)$.

这个典例告诉我们自相交的计算经常会转化为 $i^{\ast }{i}_{\ast }\alpha$ 的形式, 对此, 再使用过度相交公式即可. 一般的, 过度相交 (Excess Intersection) 其实是相交理论中的重要研究分支.

例 1.3. 假设 $X,Y\subset Z$ 是连通光滑紧合 $Z$ 中的两个光滑子簇, 满足 $X,Y$ 横截相交, 也就是说对每个 $z\in X\cap Y$ 都有$$T_{z}Z=T_{z}X+T_{z}Y.$$那么概形论交 $X\cap Y=X{\times }_{Z}Y$ 将是既约, 纯余维数 $\mathrm{codim}X+\mathrm{codim}Y$ 的概形, 且有$$[X]⌣[Y]=[X\cap Y].$$特别地, 它能推出 Bezout 定理. 这个例子告诉我们, 取相交其实是取杯积 (的对偶).

例 1.4. 考虑 $C_1,C_2\subset {\mathbb{P}}^2$ 为圆锥曲线 (二次曲线), 那么根据上例, 一般来说对一般位置的 $C_1,C_2$, 它们理应横截相交所以 $C_1\cap C_2$ 应该是四个点: 因为 $(2[H]{)}^2=4[H{]}^2=4\mathrm{pt}$. 但是如果好巧不巧: $C_1=\mathcal{V}(x_0{x}_1),C_2=\mathcal{V}(x_0{x}_2)$, 那么 $C_1\cap C_2=l\cup \{p\}$ 其中 $l=\mathcal{V}(x_0),p=\mathcal{V}(x_1,x_2)$. 问题就是怎么理解这里的 $l$ 给相交数贡献 $3$?

实际上因为 $(x_0{x}_1,x_0{x}_2)$ 活在 $H^0({\mathbb{P}}^2,{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(2{)}^{\oplus 2})$ 之中, 然而 $l$ 在 ${\mathbb{P}}^2$ 中的法丛为 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(1)$, 其实是 ${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(2{)}^{\oplus 2}{|}_l$ 的一个子丛. 这样就得到所谓的过度丛 $E={\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^2}(2{)}^{\oplus 2}{|}_l/{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(1)\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(3)$. 这条等式可以从 Chern 类直接计算 Chern 类得到, 因为 $(1+2H{)}^2/(1+H)=1+3H\in \mathbb{Q}[H]/(H^2)$, 所以得到的线丛为 $\mathcal{O}(3)$.