用户: Cybcat/百题大过关/2021 P 分析 复分析

1.	设 $C$ 是单位圆周, 赋予逆时针定向, 计算$${\oint }_C\frac{2\cos z-1}{2\sin z-1}dz.$$
2.	(1) 精确陈述 Rouche 定理. (2) 求 $f(z)=z^6-7z^3+3z+1$ 在 $\mathbb{D}$ 和 $2\mathbb{D}$ 中的零点数, 按重数计.
3.	(1) 精确陈述广义 Schwarz 引理. (2) 用广义 Schwarz 引理证明代数基本定理.
4.	(1) 构造 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 使得 $\mathbb{C}\backslash f(\mathbb{C})$ 恰有两个不同点. (2) 精确陈述整函数的 Picard 小定理. (3) 证明亚纯函数的 Picard 小定理: 若 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数取不到 $\mathbb{S}$ 上三个不同的值, 则 $f$ 为常函数.
5.	设 $P(z)$ 是 $d\ge 1$ 次的复系数多项式, 证明集合 $S=\{z:|P(z)|\ne 1\}$ 至多有 $d+1$ 个连通分支.

第一题.

第一题. 使用 围道积分的 留数定理, 注意到 $2\sin z-1=0$ 的零点都是单零点, 为 $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ 和它们关于 $2\pi$ 平移的结果. 在单位圆周内只有 $\frac{\pi }{6}$, 在该点处的留数为 $(2\cos \frac{\pi }{6}-1)/(2\cos \frac{\pi }{6})=1-1/\sqrt{3}$. 故原积分为 $2\pi i(1-1/\sqrt{3})$.

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第二题.

第二题. (1) 详见 Rouche 定理. (2) 先看 $2\mathbb{D}$, 注意到在边缘有 $|z^6|=64$ 以及 $|-7z^3+3z+1|\le 7\cdot 8+3\cdot 2+1=63$, 故由 Rouche 定理, $f$ 在其中具有 $6$ 个零点. 再看 $\mathbb{D}$, 注意到在边缘有 $|7z^3|=7$ 以及 $|z^6+3z+1|\le 5$, 故由 Rouche 定理, $f$ 在其中具有 $3$ 个零点.

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第三题.

第三题. (1) 详见我的复分析讲义. (2) 我们指出这个证明 factor through 用广义 Schwarz 引理证明 Liouville 定理:

证明, 假设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{D}$ 是全纯函数, 注意到 $r\mathbb{D}$ 上的 Poincaré 度量为 $ds=\frac{2r|dz|}{r^2-|z{|}^2}$, 由此我们将 $f$ 限制在 $r\mathbb{D}$ 上, 看作 $r\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 的映射, 则广义 Schwarz 引理给出$$\frac{2|f^{\prime }(z)|}{1-|f(z){|}^2}={\sigma }_2(f(z))|f^{\prime }(z)|\le {\sigma }_1(z)=\frac{2r}{r^2-|z{|}^2}.$$现在给定任意 $z\in \mathbb{C}$, 对 $r>|z|$ 取 $r\to +\infty$, 则右式趋于 $0$, 因此 $|f^{\prime }(z)|=0$. 由此可知 $f$ 是常数.

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第四题.

第四题. (1) 考虑 $f(z)=1/(e^z+1)$, 它是整函数的商, 因此是 $\mathbb{C}$ 上的亚纯函数, 且它在 $\mathbb{C}$ 上取不到 $0,1$. (2) 和 (3) 详见 Picard 小定理.

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第五题.

第五题. 首先注意到 $S$ 的补集紧, 因此 $S$ 补有界, 故它的连通分支中, 只有唯一的无界分支, 该分支恰是 $\{z:|P(z)|>1\}$. 现在我们证明这样一个结果, 对任意有界分支 $U\subset S$, 其中至少存在一个 $P$ 的零点. 若不然, 对 $\bar{U}$ 中的 $1/P(z)$ 使用最大模原理, 可知 $|P(z)|=1$ 在整个 $\bar{U}$, 进而 $P$ 是常函数, 矛盾.

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