留数定理

在复分析中, 留数定理说明, 复平面上亚纯函数的环路积分, 即形如$${\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z$$的环路积分, 可以写成亚纯函数 $f$ 在所有由环路 $\gamma$ 包围的极点处的留数之和. 因为留数的计算常常易于积分的计算, 所以这个定理被广泛地用于各种积分的计算中. 留数定理在解析数论等领域也有应用.

1陈述

定义 1.1 (留数). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $f$ 是 $U$ 上的亚纯函数. 对每个 $a\in U$, 将 $f$ 在 $a$ 的邻域内写成 Laurent 级数$$f(z)=\sum _{n=-N}^{\infty }{c}_n(z-a{)}^n,$$则称 $c_{-1}$ 为 $f$ 在点 $a$ 处的留数, 记为$$\mathrm{Res}(f,a)=c_{-1}.$$

留数可以写成环路积分$$\mathrm{Res}(f,a)=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z,$$其中环路 $\gamma$ 是逆时针绕 $a$ 行进一周得到的曲线, 常常取为圆周 $|z-a|=\epsilon$, 其中 $\epsilon >0$ 是很小的正数. 为使上式成立, $\gamma$ 围成的区域不可包含其它极点. 留数定理则是这一结论的推广.

定理 1.2 (留数定理). 设 $U\subset \mathbb{C}$ 是开集, $f$ 是 $U$ 上的亚纯函数. 设 $\gamma :[a,b]\to U$ 是可求长曲线, 满足 $\gamma (a)=\gamma (b)$, 且 $\gamma$ 不经过 $f$ 的极点. 则$${\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\cdot \sum _{\text{极点 }z\in U}n(\gamma ,z)\cdot \mathrm{Res}(f,z),$$其中 $n(\gamma ,z)$ 是环绕数, $\mathrm{Res}(f,z)$ 是留数, 且求和中只有有限项非零.

特别地, 若 $\gamma$ 不自交, 且以逆时针方向行进, 记 $\Gamma$ 为其围成的区域, 则定理中的环绕数当 $z$ 在 $\Gamma$ 内时为 $1$, 在其外为 $0$. 此时, 留数定理可写为$${\oint }_{\gamma }f(z)\mathrm{d}z=2\pi \mathrm{i}\cdot \sum _{\text{极点 }z\in \Gamma }\mathrm{Res}(f,z),$$

2应用

计算积分

本节过于技巧性, 应采用更简单直观的例子. 比如维基百科的例子很不错.

留数定理一个很重要的应用就是计算各种实函数和复函数的积分, 而这其中的关键在于作出合适的积分围道. 下面两个引理在计算中将会是有用的:

引理 2.1 (Jordan 引理). 设函数 $f$ 在 $\{z\mid R_0\le |z|<\infty \}\cap H$ 连续, 其中 $H=\{z\mid \mathrm{Im}(z)\ge 0\}$ 为上半平面, 满足$$\underset{z\to \infty ,z\in H}{\lim }f(z)=0,$$则对任意 $\alpha >0$ 有$$\underset{R\to +\infty }{\lim }{\int }_{C_R}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\alpha z}f(z)\mathrm{d}z=0,$$其中 $C_R=\{R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\},R\ge R_0$.

引理 2.2 (圆弧引理). 设函数 $f$ 在扇形 $C_{\rho }=\{z_0+\rho {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\mid \theta \in [\alpha ,\beta ]\}$ 上连续.

•	如果 ${\lim }_{z\to +\infty }(z-z_0)f(z)=A$, 则$$\underset{\rho \to +\infty }{\lim }{\int }_{C_{\rho }}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}(\beta -\alpha )A;$$

•	如果 ${\lim }_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)=A$, 则$$\underset{\rho \to 0}{\lim }{\int }_{C_{\rho }}f(z)\mathrm{d}z=\mathrm{i}(\beta -\alpha )A.$$

这里举一个例子: 计算$${\int }_0^{+\infty }\frac{\sqrt[3]{x}}{(1+x{)}^2}\mathrm{d}x.$$令函数 $f(z)=\frac{\sqrt[3]{z}}{(1+z{)}^2}$, 其中根号取主支. 画出如图所示的围道 $C$:

围道内仅存在一个极点 $(-1,0)$, 留数为$$\mathrm{Res}(f,-1)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(z+1{)}^{2}f(z){|}_{z=-1}=\frac{1}{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}}.$$根据留数定理:$${\oint }_{C}f(z)\mathrm{d}z={\int }_{\delta }^{R}f(z)\mathrm{d}z+{\int }_{C_R}f(z)\mathrm{d}z+{\int }_R^{\delta }f(z{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}})\mathrm{d}z+{\int }_{C_{\delta }}f(z)\mathrm{d}z=\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}}.$$根据圆弧引理: $\delta \to 0,R\to +\infty$ 时$${\int }_{C_R}f(z)\mathrm{d}z\to 0,{\int }_{C_{\delta }}f(z)\mathrm{d}z\to 0,$$所以$$\left(1-{\mathrm{e}}^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}}\right){\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}{\mathrm{e}}^{-\frac{2\pi \mathrm{i}}{3}},$$整理得$${\int }_0^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}.$$

计算级数

通过构造一些有无穷多个极点的函数, 可以利用留数定理计算级数. 以下以计算 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ 为例.

令$$f(z)=\frac{\pi \cot (\pi z)}{z^2},$$它以一切整数为奇点. $x=n(n\in \mathbb{Z}\backslash \{0\})$ 为一阶极点, 有$$\mathrm{Res}(f,n)=\underset{z\to n}{\lim }\frac{\pi \cot (\pi z)}{z^2}(z-n)=\frac{1}{n^2};$$$x=0$ 为三阶极点, 有$$\mathrm{Res}(f,0)=\frac{1}{2!}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{z}^2}\pi z\cot (\pi z){|}_{z=0}=-\frac{{\pi }^2}{3}.$$对正整数 $N$, 考虑围道 $C_N$, 它是正方形 $\partial [-N-1/2,N+1/2{]}^2$ 逆时针旋转的边界. 由留数定理$$\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\int }_{C_N}f(z)\mathrm{d}z=-\frac{{\pi }^2}{3}+2\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}.$$而 $N\to \infty$ 时, 等式左边为 $O(N^{-2})$, 趋于零. 故$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

在解析数论中的应用

解析数论常常通过分析的方法来研究数论函数, 而这有时需要使用留数定理. 参见条目 Perron 公式和素数定理.

术语翻译

留数定理 • 英文 residue theorem • 德文 Residuensatz • 法文 théorème des résidus