Picard 小定理

约定. 在本文中,

• $\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ 指复平面的单位圆盘.
• $\mathbb{H}=\{z\in \mathbb{C}:\mathrm{Im}z>0\}$ 指复的上半平面.
• $\mathbb{S}=\mathbb{C}\cup \{\infty \}={\mathbb{CP}}^1$ 指扩充复平面, 即黎曼球面.

Picard 小定理是复分析中的重要定理, 最早由 Charles Émile Picard 在 1879 年证明. 定理对 $\mathbb{C}$ 上的非常值全纯函数的像集进行了刻画, 它声称 $\mathbb{C}$ 上至多只有一个点不在这值域中.

Picard 大定理是 Picard 小定理的推广.

1陈述

定理 1.1 (Picard). 设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是全纯函数, 如果存在 $\mathbb{C}$ 上两个不同点 $a\ne b$ 不在 $f$ 的值域中, 则 $f$ 为常函数.

该定理也能对亚纯函数进行陈述:

定理 1.2 (Picard). 设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{S}$ 是亚纯函数, 如果存在 $\mathbb{S}$ 上三个不同点 $a,b,c$ 不在 $f$ 的值域中, 则 $f$ 为常函数.

对于 $\mathbb{S}$ 上任意 $c\ne \infty$, 都能通过 $\mathbb{S}$ 的自同构 $z\mapsto (z-c{)}^{-1}$ 映到 $\infty$, 因此不妨设 $c=\infty$ 不改变函数的解析性, 即只需证明 Picard 小定理的全纯函数版本.

2证明

Picard 本人的证明也是最容易理解的证明, 它使用了模函数 $\lambda$ 函数的性质. 具体来说, 我们具有全纯的覆叠映射 $\lambda :\mathbb{H}\to \mathbb{C}\backslash \{0,1\}$. 在已知这函数存在的前提下, 我们给出 Picard 的证明:

证明. 用函数 $z\mapsto (f(z)-a)/(b-a)$ 来代替 $f$, 我们可以假设 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 取不到的两个值为 $0,1$. 因为定义域 $\mathbb{C}$ 单连通, 故可以考虑将 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}\backslash \{0,1\}$ 提升到万有覆叠 $\mathbb{H}$ 上, 具体来说, 我们可以得到如下的交换图表: 这个映射最初是作为连续映射被提升的, 但是注意到 $\lambda$ 是全纯的覆叠映射, 因此局部上 $f$ 的解析性也能被提升到 $\tilde{f}:\mathbb{C}\to \mathbb{H}$, 故可以得到全纯的 $\tilde{f}$. 现在由于 $\mathbb{H}$ 和 $\mathbb{D}$ 是全纯等价的, 所以 $\tilde{f}$ 亦诱导一个 $\mathbb{C}\to \mathbb{D}$ 的全纯函数, 根据 Liouville 定理它是常函数, 因此 $\tilde{f}$ 是常函数, 进而 $f=\lambda \circ \tilde{f}$ 也是常函数.

$\square$

(...)

3推论

推论 3.1. 对全纯函数 $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$, 则要么复合 $f\circ f$ 有不动点, 要么 $f=z+b$ 其中 $b\ne 0$.

证明. 假设 $f\circ f$ 复合没有不动点, 则 $f$ 也没有不动点. 这表明 $g(z)=(f(f(z))-z)/(f(z)-z)$ 是 $\mathbb{C}$ 上的全纯函数, 而且容易得知它不取 $0,1$. 因此由 1.1 可知 $g$ 是常函数, 换言之, 存在常数 $c\ne 0,1$ 使得$$f(f(z))-z=c(f(z)-z).$$求导得到$$f^{\prime }(z)\cdot f^{\prime }(f(z))-1=c{f}^{\prime }(z)-c.$$也就是$$f^{\prime }(z)(f^{\prime }(f(z))-c)=1-c.$$由于 $c\ne 1$ 故 $f^{\prime }(z)$ 没有零点, 进而 $f^{\prime }(f(z))$ 不取 $0,c$. 再由 1.1 可知 $f^{\prime }(f(z))$ 为常数, 因此 $f^{\prime }$ 为常数, 设 $f=az+b$ 讨论可知 $a=1,b\ne 0$.

$\square$

(...)

术语翻译

Picard 小定理 • 英文 Picard’s little theorem