用户: EmberEdison/奇异基数

奇异基数是共尾类小于自身的基数.

1定义

不是正则基数的无限基数 $\kappa$ 即为奇异基数. 更多相关信息参见正则基数条目.

2奇异基数算术

背景

奇异基数在集合论的基数算术中具有重要地位:

从全体和 ZFC 公理相容的公理的角度看, 我们对于正则基数的幂集运算的可能取值, 除了 Easton 定理的限制之外可谓是百无禁忌.

甚至是大基数的力量都不能限制正则基数的幂运算, 也被称为 “小力迫不能改变大基数”.

然而, 对于奇异基数来说, 我们并不能如此肆意而为的改变可能取值, 即使是使用力迫法. 而且偏离奇异基数假设的和 ZFC 公理相容的取值可以导出非凡的大基数公理.

可以说, 一个完备的奇异基数算术理论, 就是完备的超限基数理论. 基于 “调查奇异基数算术的可能限制” 的现实需求, 便发展出了可能共尾类理论.

幂集运算的已知限制 [Abraham–Magidor 2010]

在可能共尾类出现之前的 1975 年, 我们有以下的结果:

命题 2.1. 如果 ${\aleph }_{\delta }$ 是具有不可数共尾类的强极限奇异基数, 那么

•	$2^{{\aleph }_{\delta }}<{\aleph }_{(|\delta {|}^{\text{cf}(\delta )}{)}^{+}}$.

例如, 在 “ZF + ${\aleph }_{{\omega }_1}$ 是强极限基数” 中工作, 那么

•	$2^{{\aleph }_{{\omega }_1}}<{\aleph }_{(2^{{\aleph }_1}{)}^{+}}$.

在 Shelah 发展出可能共尾类理论之后, 就有了以下关于可数共尾类的类似结果:

命题 2.2. 在 “ZFC + ${\aleph }_{\omega }$ 是强极限基数” 中工作, 那么

•	$2^{{\aleph }_{\omega }}<{\aleph }_{(2^{{\aleph }_0}{)}^{+}}$.
•	$2^{{\aleph }_{\omega }}<{\aleph }_{{\omega }_4}$.

显然, 引入公理 $2^{{\aleph }_0}\le {\aleph }_2$, 则第一不等式更优. 反之, 引入公理 $2^{{\aleph }_0}\nleqq {\aleph }_2$, 则第二不等式更优.

另一个方向上 Shelah 有

命题 2.3. [Shelah 1983]

•	设 $\alpha <{\omega }_1$, “$2^{{\aleph }_{\omega }}={\aleph }_{\alpha +1}$” 和 “ZFC + ${\aleph }_{\omega }$ 是强极限基数” 相容.
•	设 $\alpha <{\omega }_2$, “$2^{{\aleph }_{{\omega }_1}}={\aleph }_{\alpha +1}$” 和 “ZFC + ${\aleph }_{{\omega }_1}$ 是强极限基数” 相容.

自然而然的我们可以提出以下至今未被解决的猜想:

猜想 2.4. 在 “ZFC + ${\aleph }_{\omega }$ 是强极限基数” 中工作, 那么

•	$2^{{\aleph }_{\omega }}<{\aleph }_{{\omega }_1}$.

该猜想本身是可能共尾类猜想成立时的自然推论. 目前已知的是, 任何与选择公理相容的大基数都不足以否定可能共尾类猜想. [Pereira 2008]

后继运算的已知限制

ZF 中有很多奇异基数后继性质是不可判定的.

命题 2.5. 以下命题和 ZF 相容:

•	${\omega }_1$ 是奇异基数.
•	存在两个相邻的奇异基数.

即使引入选择公理, 也依旧存在许多极为困难的奇异基数后继性质问题. [Eisworth 2010]

一个例子是 $cf([{\omega }_{\omega +1}{]}^{{\aleph }_0})$, ZFC 即使是如此简单的共尾类问题也是无法判定的, 虽然使用可能共尾类理论可以解决之.

另外一个著名例子是 “${\aleph }_{\omega +1}$ 是否为 Jónsson 基数? ” 如果是, 任何 Jónsson 基数的存在都意味着 $0^{♯}$ 的存在, 因此 ZFC 绝无可能判定之.

利用可能共尾类理论, 可以给出否定结果, 但不能外推到任意奇异基数的后继.

3参考文献

•	Luís Pereira (2008). The PCF conjecture and large cardinals, vol. 73. (doi)
•	Uri Abraham, Menachem Magidor (2010). Cardinal arithmetic. Springer.
•	Saharon Shelah (1983). The singular cardinals problem; Independence results. Cambridge University Press.
•	Todd Eisworth (2010). Successors of singular cardinals. Springer.