共尾类

有向集的共尾类 $\mathrm{cf}(X)$ 是它的共尾子集的势的最小值. 例如, 有最大元的有向集的共尾类是 $1$. 自然数集 $\mathbb{N}$ 的一个子集是共尾的当且仅当它是无限集, 从而它的共尾类是 $\omega$. 这表明 $\omega =\mathbb{N}$ 是正则基数.

注意这定义依赖选择公理, 因为它假定基数构成良序. 但若只谈论良序集 (如序数) 的共尾类, 则不需要选择公理.

1定义

定义 1.1 (共尾子集). 有向集 $X$ 的子集 $Y$ 称为共尾子集, 如果对任意 $x\in X$, 存在 $y\in Y$ 使得 $x\le y$.

若把偏序集看成 (经典) 范畴, 则这条件等价于含入映射作为函子共尾.

定义 1.2 (共尾类). 有向集 $X$ 的共尾类是它的全体共尾子集的势的最小值, 记为 $\mathrm{cf}(X)$.

2基本性质

以下命题表明, 为计算共尾类, 我们只需计算任何共尾子集的共尾类.

引理 2.1.

•	有向集的共尾子集仍是有向集.
•	设 $Z\subset Y\subset X$ 为有向集. 则 $Z$ 在 $X$ 中共尾, 当且仅当 $Z$ 在 $Y$ 中共尾且 $Y$ 在 $X$ 中共尾.

命题 2.2. 设 $Y\subset X$ 为有向集的共尾子集. 则 $\mathrm{cf}(X)=\mathrm{cf}(Y)$.

证明. $Y$ 的共尾子集都是 $X$ 的共尾子集, 故 $\mathrm{cf}(Y)\ge \mathrm{cf}(X)$. 反之, 设 $Z$ 为 $X$ 共尾子集. 对 $Z$ 每个元素 $z$ 选取一个 $Y$ 的元素 $y_z>z$. 令 $Z^{\prime }=\{y_z\mid z\in Z\}\subset Y$, 则 $Z^{\prime }$ 在 $Y$ 中共尾, 且 $|Z^{\prime }|<|Z|$. 于是有另一侧不等式 $\mathrm{cf}(X)\ge \mathrm{cf}(Y)$.

$\square$

上述证明中, 若 $X$ 为良序集, 则 $y_z$ 有典范的选择, 即 $Y$ 中大于 $z$ 的元素的最小值. 从而此时不需要选择公理.

3序数

序数的共尾类即它作为偏序集的共尾类. 基数的共尾类是它作为序数的共尾类.

简单观察可得, $0$ 的共尾类为 $0$, 而后继序数的共尾类为 $1$.

极限序数 $\alpha$ 的子集 $Y$ 是共尾子集当且仅当 $\alpha =\bigcup Y$.

序数的共尾类也可等价地定义为共尾子集的序型 (作为序数) 的下确界. 由基数的定义, 只需证一侧不等式, 即以下命题:

命题 3.1. 设 $\alpha$ 为序数, $\beta =\mathrm{cf}(\alpha )$ 看作序数. 则存在严格单调映射 $\beta \to \alpha$, 使其像为共尾子集.

证明. 取 $\alpha$ 的势为 $\beta$ 的共尾子集 $Y$, 取双射 $f:\beta \to Y$. 令$$Z=\{z\in \beta \mid \forall y\in z,f(y)<f(z)\}.$$

下断言 $f$ 在 $Z$ 上的限制的像是 $\alpha$ 的共尾子集. 若断言成立, 则容易发现 $f{|}_Z$ 严格单调. 由于 $\mathrm{cf}(\alpha )=\beta$, 知 $|Z|\ge \beta$, 故 $Z$ 的序型为 $\beta$. 从而保序双射 $\beta \to Z$ 与 $f{|}_Z$ 的复合即为所求.

下只需证断言. 任取 $\gamma \in \alpha$, 欲证存在 $z\in Z$ 使得 $f(z)\ge \gamma$. 现取最小的 $z\in \beta$ 使得 $f(z)\ge \gamma$, 则对 $y\in z$ 有 $f(y)<\gamma \le f(z)$, 故 $z\in Z$, 即为所求.

$\square$

推论 3.2. 序数的共尾类都为正则基数.

证明. 取严格单调共尾映射 $\mathrm{cf}(\alpha )\to \alpha$, 知 $\alpha$ 与 $\mathrm{cf}(\alpha )$ 共尾类相同, 从而知 $\mathrm{cf}(\alpha )$ 正则.

$\square$

4相关概念

•

正则基数

术语翻译

共尾类 • 英文 cofinality