奇异基数假设

奇异基数假设指如下命题:

•	对奇异基数 $\kappa$, $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<\kappa \to {\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\kappa }^{+}$;

1动机

对于奇异基数 $\kappa$ 来说, ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 的值有下列估计.

命题 1.1. 对奇异基数 $\kappa$, 若 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\ge \kappa$, 则 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$, 若 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}<\kappa$, 则 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}\ge {\kappa }^{+}$.

证明. 由 Kőnig 定理的推论有$${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}>\kappa$$于是$${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}\ge {\kappa }^{+}$$当 $2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\ge \kappa$ 时, 由 $\kappa$ 的奇异性有, $$\kappa >\mathrm{cf}(\kappa )\ge \omega$$由基数的指数运算法则可以得到
因为$$\forall \alpha ,\omega \le \alpha \le \mathrm{cf}(k)$$有$${\alpha }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}\ge \kappa$$所以$${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\omega }^{\mathrm{cf}(\kappa )}=2^{\mathrm{cf}(\kappa )}$$

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可见奇异基数假设的目的在于约束 ${\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$ 的值, 以便于确定基数幂的具体大小.

2与强连续统假设的关系

强连续统假设强于奇异基数假设.

定理 2.1. $$ZFC+GCH⊢\mathrm{SCH}$$

证明. 由于 $\kappa$ 是奇异基数, 因此是极限基数.
由基数页面的指数部分的结论得到 $2^{\kappa }=(2^{<\kappa }{)}^{\mathrm{cf}(\kappa )}$.
又由强连续统假设得到$$2^{<\kappa }=\sup \{2^{|\alpha |}\mid \alpha <\kappa \}=\sup \{|\alpha {|}^{+}\mid \alpha <\kappa \}=\kappa$$所以$$2^{\kappa }=(2^{<\kappa }{)}^{\mathrm{cf}(\kappa )}={\kappa }^{\mathrm{cf}(\kappa )}$$

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3相关概念

术语翻译

奇异基数假设 • 英文 singular cardinal hypothesis (SCH)