用户: Fyx1123581347/Galois群与基本群/域的 Galois 理论/无限 Galois 理论与平展代数

(本节主讲人为 x^3+y^3=3axy)

我们假设读者已经了解有限 Galois 理论. 我们将简要展示无限 Galois 理论, 并用平展代数的语言重述 Galois 对应, 这种叙述方式将会和拓扑空间中的结论很相近.

以下, 我们假设 $k$ 是域, $\bar{k}$ 是 $k$ 的一个固定的代数闭包, $K^s$ 是 $k$ 在 $\bar{k}$ 中的可分闭包. 对域扩张 $K/k$, 我们记 $\mathrm{Aut}(K/k)$ 为 $K$ 的 $k$-自同构群. 回忆 (不必有限的) 代数扩张 $L/k$ 称为 Galois 扩张, 如果 $k=L^{\mathrm{Aut}(L/k)}$; 此时记 $\mathrm{Aut}(L/k)=\mathrm{Gal}(L/k)$.

命题 0.1. 域扩张 $L/k$ 为 Galois 扩张当且仅当其可分、正规.

推论 0.2. 对域扩张塔 $k\subset M\subset L$, 若 $L/k$ 为 Galois, 则亦有 $L/M$ 为 Galois.

1无限 Galois 理论

设 $(\Lambda ,\le )$ 为滤的偏序集, 从 ${\Lambda }^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathsf{Grp}$ 的函子 $F$ 称为一个投射系统或逆向系统. 记 $\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }=\lim F$, 即$$\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }=\{(g_{\alpha })\in \prod _{\alpha }{G}_{\alpha }\mid \forall u:\alpha \to \beta ,F(u)(g_{\beta })=g_{\alpha }\}.$$$\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$ 到 $G_{\alpha }$ 的投影记作 ${\pi }_{\alpha }$.

极限中的元素是满足 “相容性” 的序列. 然而, 从此定义并不能直接看出这样的序列总是存在的.

命题 1.1. 若 $G_{\alpha }$ 均非空, 则 $\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$ 非空.

1.2. 直接证明如上命题. (也可以采用拓扑的方法, 参见射有限群处的讨论)

定义 1.3. 若存在有限群 $G_{\alpha }$ 使得 $G\simeq \underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$, 称 $G$ 为射有限群.

例 1.4.

•	有限群为射有限群
•	对群 $G$, 考虑 $G$ 中有限指数的子群 $N_{\alpha }$. 记$$\alpha \le \beta \iff N_{\alpha }\supseteq N_{\beta },$$则自然态射 $G/N_{\beta }\to G/N_{\alpha }$ 为逆向系, $\hat{G}=\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$ 称为 $G$ 的射有限完备化.
•	$G=\mathbb{Z}$, $\hat{G}=\hat{\mathbb{Z}}$.
•	${\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$. 根据中国剩余定理及极限的交换性, $\hat{\mathbb{Z}}={\prod }_p{\mathbb{Z}}_p$.
•	设 $K/k$ 为 Galois 扩张, 令 $\Lambda$ 为 $K/k$ 的所有有限 Galois 子扩张, 则$$\mathrm{Gal}(K/k)\simeq \underleftarrow{\lim }\mathrm{Gal}(L/k),$$并且限制映射 $\mathrm{Gal}(K/k)\to \mathrm{Gal}(L/k)$ 为满射.
•	有限域 ${\mathbb{F}}_p$ 有唯一的 $n$ 次扩张 ${\mathbb{F}}_{p^n}$, 且其为 Galois 扩张. 有 ${\bar{\mathbb{F}}}_p={\bigcup }_n{\mathbb{F}}_{p^n}$. 有$$\mathrm{Gal}({\mathbb{F}}_{p^n}/{\mathbb{F}}_p)\simeq \mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathrm{Gal}(\bar{\mathbb{F}}/\mathbb{F})\simeq \hat{\mathbb{Z}}.$$
•	$\mathbb{Q}({\zeta }_{p^{\infty }})={\bigcup }_n\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})$. 注意与上面的例子不同, 这里的偏序集是一个链 (全序). 我们有$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p^n})/\mathbb{Q})\simeq (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}{)}^{\times },$$$$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}({\zeta }_{p^{\infty }})/\mathbb{Q})\simeq \underleftarrow{\lim }(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}{)}^{\times }\simeq {\mathbb{Z}}_p^{\times }.$$
•	与上面类似, $\mathbb{Q}(\zeta )/\mathbb{Q}$ 为 Galois 扩张, 其 Galois 群为 ${\hat{\mathbb{Z}}}^{\times }$.

我们在 $G_{\alpha }$ 上赋予离散拓扑, ${\prod }_{\alpha }{G}_{\alpha }$ 上赋予乘积拓扑, $\underleftarrow{\lim }$ 上赋予子空间拓扑 (这实际也是在拓扑空间中的极限).

这是乘积空间中的闭子集, 因为假设 $(x_i{)}_{i\in I}\in \underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$, 且 $x_i\to x$, 则 ${\pi }_{\alpha }(x_i)\to {\pi }_{\alpha }(x)$, 根据乘积空间的 Hausdorff 性可以得到 $x\in \underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$. 因此 $G=\underleftarrow{\lim }{G}_{\alpha }$ 为紧 Hausdorff 拓扑群.

投影映射 ${\pi }_{\alpha }:G\to G_{\alpha }$ 是连续的, 其核构成 $G$ 在 $1$ 处的一组邻域基. 这是因为 $\ker {\pi }_{\alpha }\cap \ker {\pi }_{\beta }\supseteq \ker {\pi }_{\gamma }$, 对于 $\alpha \le \gamma ,\beta \le \gamma$. 这是一组紧开邻域, 从而 $G^0=\{1\}$, 即 $G$ 是完全不连通的 ($G^0$ 代表 $G$ 在 $\{1\}$ 处的连通分支).

因此, 射有限群是紧、Hausdorff、完全不连通的拓扑群. 反过来也可以说明这样的拓扑群 $G$ 是射有限群, 事实上,$$G\simeq \underset{N\in \mathcal{N}}{\underleftarrow{\lim }}G/N,$$其中 $\mathcal{N}$ 为 $G$ 在 $1$ 处的邻域 (或邻域基).

定理 1.5 (Krull). (从百科中摘取) 对 Galois 扩张 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$. 下述二映射: $$H\mapsto L^H$$以及$$K^{\prime }\mapsto \mathrm{Gal}(L/K^{\prime })$$互逆, 且建立了 $G$ 的闭子群与 $L/K$ 的子扩张之间的一一对应 (这里 $L^H$ 表示 $L$ 中在 $H$ 的任何元素作用下均不变的元素构成的子域) . 使得:

•	开子群在对应于有限扩张.
•	$H$ 在 $G$ 中指数与 $L^H/K$ 的次数等势.
•	正规闭子群对应于 Galois 子扩张. 即 $L$ 正规当且仅当 $L/L^H$ 为 Galois 扩张. 同时, 商群 $G/H$ 与 $\mathrm{Gal}(L^H/K)$ 同构.

1.6. 证明如上定理.

事实上, 所有射有限群均是域扩张的 Galois 群.

引理 1.7. 假设射有限群 $G$ 连续、忠实地作用在域 $K$ 上 ($K$ 上配备离散拓扑), 则 $K/K^G$ 为 Galois 扩张, 且 $\mathrm{Gal}(K/K^G)\simeq G$.

证明. 因 $G$ 在 $K$ 上作用连续, 知 $\forall a\in K$, $\mathrm{Stab}(a)$ 为开集, 从而在 $G$ 中指数有限, 即 $a$ 在 $G$ 作用下的轨道 $S$ 的阶数有限. 考察$$f(X)=\prod _{s\in S}(X-s).$$则 $f$ 在 $G$ 作用下不变, 故 $a$ 在 $K^G$ 上的极小多项式整除 $f$. 因此, $a$ 的极小多项式分裂、无重根, 从而 $K/K^G$ 为 Galois 扩张.

记 $K^G=k$, 我们有 $G\subseteq \mathrm{Gal}(K/k)$. 这个嵌入是连续的, 因为假设 $L/k$ 是有限 Galois 扩张, 则存在 $a\in L$ 使得 $L=k(a)$, 并且 $G\to \mathrm{Gal}(L/k)$ 的核就是 $\mathrm{Stab}(a)$; 这说明 $G\to \mathrm{Gal}(L/k)$ 连续, 从而 $G\to \mathrm{Gal}(K/k)$ 连续. 由于 $G$ 为紧集, 知 $G$ 为 $\mathrm{Gal}(K/K^G)$ 的闭子群. 根据 Galois 对应, 即得 $G=\mathrm{Gal}(K/K^G)$.

$\square$

命题 1.8. 射有限群 $G$ 同构于某个域扩张的 Galois 群.

证明. 取 $G$ 的开正规子群族 $\mathcal{N}$, 对任何 $N\in \mathcal{N}$, 取 ${\sigma }_1^N,\dots ,{\sigma }_k^N$ 为陪集的代表元, $X_1^N,\dots ,X_k^N$ 为未定元.

任取完美域 $F$. 令 $K=F(X_i^N)$, 定义 $G$ 在 $K$ 上的作用为$$\sigma (x)=x,\forall x\in F;$$若 $\sigma ({\sigma }_i^{N}N)={\sigma }_j^{N}N$, 令 $\sigma (X_i^N)=X_j^N$. 则 $G$ 在 $K$ 上的作用是忠实的: 如果 $\sigma ={\mathrm{id}}_K$, 则 $\sigma \in \mathcal{N},\forall N$, 从而 $\sigma =1$.

$\square$

2平展代数

记 $G_k=\mathrm{Gal}(k^s/k)$ 为 $k$ 的绝对 Galois 群.

设 $L/k$ 为有限可分扩张, 则 $G_k$ 在 $\mathrm{Hom}(L,k^s)$ 上有自然的作用$$G_k\times \mathrm{Hom}(L,k^s)⟶\mathrm{Hom}(L,k^s),(\varphi ,\iota )⟼\varphi \circ \iota .$$这是一个连续、传递的作用. 连续意谓所作用集合上配备离散拓扑下连续, 等价地, 为 $G_k$ 的作用穿过有限商 (更确切地, 商去一个开正规子群).

命题 2.1. 函子 $\mathrm{Hom}(\cdot ,k^s)$ 给出了范畴等价$$\{\text{k 的有限可分扩张}\}\leftrightarrow \{\text{传递的有限 Gk-集}\}.$$

定义 2.2. 称有限维 $k$-代数 $A$ 是平展的, 如果 $A\simeq K_1\times \cdots \times K_s$, 其中 $K_i/k$ 是有限可分扩张.

我们有$${\mathrm{Hom}}_k(A,k^s)=\coprod {\mathrm{Hom}}_k(K_i,k^s).$$这是 $G_k$ 在 ${\mathrm{Hom}}_k(A,k^s)$ 上作用的轨道分解.

命题 2.3. 函子 $F:=\mathrm{Hom}(\cdot ,k^s)$ 给出了平展 $k$ 代数到有限 $G_k$-集的范畴等价. 并且

•	有限可分扩张对应到传递 $G_k$-集.
•	Galois 扩张对应到 $G_k$ 的有限商.
•	$F(A{\otimes }_{k}B)=F(A)\times F(B)$, 后者作用为 $g(x,y)=(gx,gy)$.

注意 $F$ 即为 “纤维” 函子, 这将在概形的基本群中予以澄清.

引理 2.4. 设 $A$ 是有限维交换 $k$-代数, 则 $A$ 既约当且仅当 $A$ 是有限个 $k$ 的有限扩张的乘积.

证明. 约化 Artin 局部环即为域.

$\square$

命题 2.5. 设 $A$ 是有限维交换 $k$-代数, 则以下等价:

1.	$A$ 是平展代数;
2.	$A{\otimes }_k\bar{k}\simeq {\bar{k}}^n$;
3.	$A{\otimes }_k\bar{k}$ 既约.

证明. 根据上面的引理, (2), (3) 等价. (1) 推 (2) 是明显的. 假设 $A$ 几何既约, 则 $A\simeq {\prod }_{L_i}$, 其中 $L_i$ 为 $k$ 的有限扩张. 我们有$${\mathrm{Hom}}_k(A,\bar{k})={\mathrm{Hom}}_{\bar{k}}(A{\otimes }_k\bar{k},\bar{k}).$$左边的数为 ${\sum }_i[L_i:k{]}_s$, 右边为 ${\dim }_k(A)={\sum }_i[L_i:k]$. 因此 $L_i$ 均为可分扩张.

$\square$