Galois 理论

Galois 理论是通过引入 Galois 群, 以使用群论研究域扩张的理论. 其主定理给出了子群与子扩张的一一对应关系.

Galois 理论由 Évariste Galois 创立, 最初目的是解决多项式方程的根式求解问题.

1主定理

有限情形

定理 1.1. 对有限 Galois 扩张 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$. 下述二映射: $$H\mapsto L^H$$以及$$K^{\prime }\mapsto \mathrm{Gal}(L/K^{\prime })$$互逆, 且建立了 $G$ 的子群与 $L/K$ 的子扩张之间的一一对应 (这里 $L^H$ 表示 $L$ 中在 $H$ 的任何元素作用下均不变的元素构成的子域) . 使得

•	$H$ 的阶为 $L/L^H$ 的次数. $H$ 在 $G$ 中指数为 $L^H/K$ 的次数.
•	正规子群对应于 Galois 子扩张. 即 $L$ 正规当且仅当 $L/L^H$ 为 Galois 扩张. 同时, 商群 $G/H$ 与 $\mathrm{Gal}(L^H/K)$ 同构.

一般情形

定理 1.2. 对 Galois 扩张 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$. 下述二映射: $$H\mapsto L^H$$以及$$K^{\prime }\mapsto \mathrm{Gal}(L/K^{\prime })$$互逆, 且建立了 $G$ 的闭子群与 $L/K$ 的子扩张之间的一一对应 (这里 $L^H$ 表示 $L$ 中在 $H$ 的任何元素作用下均不变的元素构成的子域) . 使得:

•	开子群对应于有限扩张.
•	$H$ 在 $G$ 中指数与 $L^H/K$ 的次数等势.
•	正规闭子群对应于 Galois 子扩张. 即 $L$ 正规当且仅当 $L/L^H$ 为 Galois 扩张. 同时, 商群 $G/H$ 与 $\mathrm{Gal}(L^H/K)$ 同构.

2应用

在数论中, 方程求根自然引入了数域的扩张, 使得 Galois 理论在解决古典问题 (例如尺规作图, 方程求根公式等) 的同时也成为现代代数数论的基石. 这方面一个基础的结果是:

定理 2.1 (Galois). 域 $K$ 上一元多项式方程 $f(x)=0(f(x)\in K[x])$ 可根式解当且仅当 $f$ 在 $K$ 上的分裂域 $E$ 是 $K$ 的可解扩张, 即 Galois 群 $\mathrm{Gal}(E/K)$ 是可解群.

这也就是 “可解群” 这个名字的由来.

3类比

Galois 理论与覆叠空间理论具有良好的类比.

4主要问题

问题 (Galois 反问题). 对满足何种性质的射有限群, 其同构于某个 $\mathbb{Q}$ 的扩张的 Galois 群?

5相关理论

•	代数数论
•	覆叠空间

术语翻译

Galois 理论 • 英文 Galois theory • 德文 Galoistheorie (f) • 法文 théorie de Galois (f)