投射有限群

投射有限群是离散有限群的一种推广, 它们有许多相同的性质. 例如 Lagrange 定理和 Sylow 定理都可以推广到投射有限群上.

1定义

定义 1.1. $G$ 是拓扑群, 若存在有限群的逆向系 $(G_i{)}_{i\in I}$, 其中 $G_i$ 赋予离散拓扑, 满足: $$G=\underleftarrow{\lim }{G}_i,$$称 $G$ 为投射有限群.

2性质

具体构造

命题 2.1. 设 $(G_i{)}_{i\in I}$ 是以有向集 $(I,\le )$ 为指标集的逆向系, $\{f_i^j:G_j\to G_i\mid i,j\in I,i\le j\}$ 是态射集. 则有$$\underleftarrow{\lim }{G}_i=\{(g_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in I}{G}_i\mid f_i^j(g_j)=g_i,\text{对 }j\ge i\}$$

从具体构造, 能够得到 $G=\underleftarrow{\lim }{G}_i$ 到 $G_i$ 的典范同态, 即投影映射 $p_i$.

等价刻画

命题 2.2. 设 $G$ 是拓扑群, 则 $G$ 是投射有限群的充分必要条件是 $G$ 紧且完全不连通.

必要性的证明. 先证 $G$ 是紧空间. 首先由 Tikhonov 定理, ${\prod }_{i\in I}{G}_i$ 是紧空间. 由于紧空间的闭子空间是紧集, 只需证明 $G=\underleftarrow{\lim }{G}_i$ 是闭子空间. 考虑 $(x_i)\notin G$, 则存在 $i_0\le j_0$ 使得 $f_{i_0}^{j_0}(x_{j_0})\ne x_{i_0}$. 则有$$G\cap \{(g_i{)}_{i\in I}\mid g_{j_0}=x_{j_0},g_{i_0}=x_{i_0}\}=\varnothing$$这是一个 $(x_i)$ 的与 $G$ 相交为空的邻域, 即有 $G$ 是闭集.

对于连通性, 利用 $p_i$ 是连续映射以及连通集的连续像连通. 每个 $G_i$ 是离散的, 连通分支只有单点集. 所以 $G$ 中包含 $\{e\}$ 的连通分支只能是 $\bigcap p_i^{-1}(e_i)=\{e\}$. 结合拓扑群性质, $G$ 的连通分支只有单点集.

$\square$

充分性的证明. 断言正规开子群构成邻域基, 设 $U$ 是 $e$ 的邻域, 则 $U$ 是闭集进而为紧集. 那么存在 $e$ 的开邻域 $V$ 使得 $VU\subset U$. 另 $W=V\cap V^{-1}$ 是 $e$ 的开邻域, 且满足 $WU=W^{-1}U\subset U$. 归纳地, 得到 $W^n\subset U$, 则有$$H:=\bigcup _{n\in \mathbb{Z}}{W}^n\text{ 是含有 }e\text{ 且包含于 }U\text{ 的开子群}.$$令 $N={\cap }_{g\in G}gH{g}^{-1}$, 这是一个包含于 $H$ 的正规开子群. 由于 $G$ 是紧集, 则 $N$ 的指数有限. 那么 $G/N$ 是离散有限群.

定义 $N_i$ 之间的序关系: $i\le j\iff N_i\supseteq N_j\iff A_i^j:G/N_j\to G/N_i$ 是典范的商映射. 令 $A=\underleftarrow{\lim }G/N_i$, 其中 $N_i$ 是所有 $e$ 的正规开邻域. 由于有 ${\pi }_i:G\to G/N_i$, 且与 $A_i^j$ 交换, 通过极限的泛性质有映射: $$\pi :G\to A=\underleftarrow{\lim }G/N_i$$它是紧空间到 Hausdorff 空间的映射, 自然为闭映射. 只需证 $\pi$ 是双射.

•	$\pi$ 是单射: 若有 $\pi (x)=e$, 则有 ${\pi }_i(x)=e_i$, 即 $x\in \cap N_i$. 由于 $\{e\}$ 是 $e$ 的连通分支, 则有 $\{e\}$ 是所有 $G$ 中包含 $e$ 的既开又闭集的交. 因此 $x=e$.
•	$\pi$ 是满射: 设 $a=(x_i{N}_i)$. 对任意 $N_i,N_j$, 有 $N_k=N_i\cap N_j$ 仍是正规开子群. 由逆极限定义, 存在 $x_k\in G$ 使得 $x_k{N}_k\subset x_i{N}_i\cap x_j{N}_j$. 由 $G$ 的紧性, 知存在 $x\in G$ 满足: $$x\in \bigcap \overline{x_i{N}_i}=\bigcap x_i{N}_i(N_i\text{同时也是闭子群})$$那么 $\pi (x)=a$.

$\square$

从任意一个拓扑群可以得到它相应的投射有限群.

定义 2.3 (投射有限完备化). 拓扑群 $G$ 的投射有限完备化是$$\hat{G}=\underleftarrow{\lim }G/H_i,$$其中 $H_i$ 取遍 $G$ 的有限指数正规开子群 (构成一个逆向系). 有自然的映射 $G\to \hat{G}$, 使投射有限群范畴成为拓扑群范畴的反射子范畴.

3例子

例 3.1. 有以下几类典型的投射有限群.

1.	对于赋予离散拓扑的有限群 $G$ 是投射有限群.
2.	$p$ 进整数 ${\mathbb{Z}}_p=\underleftarrow{\lim }\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ 是投射有限加法群.
3.	对于 Galois 扩张 $L/K$, 设 $G=\mathrm{Gal}(L/K)$ 为其 Galois 群. 由于 Galois 扩张的合成仍为 Galois 扩张, 有$$G=\underleftarrow{\lim }\mathrm{Gal}(F/K),\text{ 其中 }F\text{ 为所有有限 Galois 扩张}.$$
4.	任何群的投射有限完备化是投射有限群. 一个复代数簇的平展基本群即是基本群的投射有限完备化.

4相关概念

•	拓扑群
•	投射 $p$ 群

术语翻译

投射有限群 • 英文 profinite group • 德文 proendliche Gruppe • 法文 groupe profini