用户: Ice1000/光滑无穷小分析

1你懂吗

定义 1.1. 方幂零元或称无穷小是数 $\epsilon$ 使得 ${\epsilon }^2=0$. 构造主义逻辑中, 该量不一定为 $0$. 标准实分析中, $\epsilon =0$.

这只是一种意义上的无穷小, 和超现实数那些的不一样. 把这东西加进实数, 记作 $\mathbb{R}$.

注 1.2. 实际上这个说法是错的, 我们不能把什么东西随便加进实数, 除非这是一个域扩张. 但 Kokic 跟我说这里构不成域扩张, 因此这只能构成是一个理解的方法, 实际操作的时候要换成别的东西, 好像得是一个环.

记无穷小构成的集合为 $\Delta =\{\epsilon \in \mathbb{R}\mid {\epsilon }^2=0\}$.

命题 1.3 (Kock-Lawrence). 对于任何 $f:\Delta \to \mathbb{R}$, 存在 $D\in \mathbb{R}$ 使得 $f$ 的图像过 $(0,f(0))$ 且斜率为 $D$, 换言之$$f(\epsilon )=f(0)+\epsilon D$$

注意 $f$ 不能弯曲, 只能平移旋转, 且不是一个点, 却又没有长度.

推论 1.4. 任何 $\Delta \to \mathbb{R}$ 都是仿射函数.

定理 1.5. $$(\forall \epsilon \in \Delta ⟹a\epsilon =b\epsilon )⟹a=b$$

换言之, 我们有足够多的无穷小来探测两个实数是否相等.

定义 $x,y\in \mathbb{R}$ 相邻当且仅当两者相差一个无穷小, 这样就可以讨论函数的连续性.

定理 1.6. 任意函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 都是连续函数.

证明. 对于输入 $x,x+\epsilon$, 输出 $f(x),f(x+\epsilon )$ 相差 $\epsilon f^{\prime }(x)$. 至于 $f^{\prime }(x)$ 是多少不重要, 反正是实数就行.

$\square$

直觉上来说, 应该是塞了很多个新的东西进实数导致所有函数都惨遭连续.

微积分中的常见定理都成立, 例如一些求导规则, 还有微积分基本定理, 证明略.

定义 1.7. $a\in \mathbb{R}$ 为函数 $f$ 上的静止点若如下条件成立: $$\forall \epsilon \in \Delta ,f(a+\epsilon )=f(a)$$

这意味着 $f(a)+\epsilon f^{\prime }(a)=f(a)$, 也就是说 $f^{\prime }(a)=0$.

命题 1.8 (假设). 若对于区间 $J$ 上的所有点都是 $f$ 的静止点, 那么 $f$ 是常函数.

定理 1.9. 不存在两个非空集合 $A,B⊊\mathbb{R}$ 同时满足 $A\cap B=\varnothing$, $A\cup B=\mathbb{R}$.

证明. 若存在这样的划分, 令 $f:\mathbb{R}\to \{114,514\}$ 对 $A$ 的元素取值为 $114$, $B$ 的元素取值为 $514$, 可以推出 $f$ 是常函数. 考虑 $f(x)$ 和 $f(x+\epsilon )$ 的取值, 其中 $\epsilon \in \Delta$. 根据连续性, 这俩取值不可能不相等, 因此 $x$ 是一个静止点. 因此任何点都是 $f$ 上的静止点, 因此 $f$ 是常函数.

$\square$

代数结构

定理 1.10. $\mathbb{R}$ 上有域结构.

注意, $\forall x\ne 0$ 都有乘法逆元, 但所有的无穷小量都不满足 $\epsilon \ne 0$, 因此它们不需要 (也没有) 乘法逆元.

定理 1.11. $\mathbb{R}$ 上有偏序结构, 没有全序结构.

命题 1.12. $$\Delta ⊊\{x\in \mathbb{R}\mid \neg \neg x=0\}⊊\{x\in \mathbb{R}\mid x\le 0且x\ge 0\}$$这三个邻域的定义分别为代数邻域, 逻辑邻域, 序邻域.

自然数

定义 1.13. 自然数 $\mathbb{N}$ 是 $\mathbb{R}$ 中包含 $0$, 且在 $+1$ 操作下闭合的最小集合.

注意 $\mathbb{R}$ 不一定满足 Archimedes 原理.

定义 1.14. 光滑自然数 ${\mathbb{N}}^{\ast }$ 定义为$$\{x\in \mathbb{R}\mid x\ge 0且\sin (\pi x)=0\}$$

将 Archimedes 原理中的自然数换为光滑自然数后, $\mathbb{R}$ 便满足这个版本的 Archimedes 原理.