超现实数

超现实数是一种数, 它包含实数, 也包含无穷大、无穷小的数; 在全体超现实数上可以定义加法、乘法、全序, 从而成为序域. 事实上它还是实闭域.

超现实数的想法来源于博弈论, 它可以用来描述一些双人完全信息、轮流操作、必定在有限步终止、局面对先操作者不利且无法操作者输的博弈. 对于每个局面, 可以引入一个超现实数 $\{L\mid R\}$ 来描述它, 其中 $L$ 和 $R$ 分别表示两名玩家对局面进行一步操作后可能的结果的集合. 例如两人都无法操作的局面就就是 $\{\mid \}$, 记为 $0$. 加法和序关系的定义也来源于这一想法, 超现实数的加法就是局面的并; 超现实数的序关系则对应游戏的结果: 一个局面对应的超现实数大于 $0$ 等价于任意玩家先操作都是第一名玩家赢, 小于 $0$ 则是第二名玩家赢, 等于 $0$ 则说明先操作者输.

由于超现实数中有无穷大和无穷小的数, 它 (或者它的一些子域) 还可以作为非标准分析的模型, 使得无穷小和无穷大的概念在这一理论中不再是一种趋势, 而是真正的数.

1定义

超现实数和其序关系是递归地定义的.

定义 1.1. 超现实数形如 $\{L\mid R\}$, 其中 $L$ 和 $R$ 是两个集合, 称为左集和右集. 左集与右集中的元素也都是超现实数, 且满足:

•	对任意 $x\in L,y\in R$, 都有 $y>x$.

设两个超现实数 $x=\{X_L\mid X_R\},y=\{Y_L\mid Y_R\}$, 则 $x\le y$ 定义为如下条件

•	对任意 $x_L\in X_L$, 有 $y>x_L$;
•	对任意 $y_R\in Y_R$, 有 $y_R>x$. $y>x$ 定义为 $x\nleqq y$.

也可以使用递推的办法写出等价定义.

定义 1.2. 对每个序数 $\alpha$, 记 $S_{\alpha }$ 为 “第 $\alpha$ 天造出的超现实数”. 其定义基本同上, 但是 $L$ 与 $R$ 是 ${\bigcup }_{\beta <\alpha }{S}_{\beta }$ 的子集.

例 1.3. 第 $0$ 天中, $L$ 与 $R$ 只能是空集. 因此 $S_0$ 中唯一的超现实数的左集与右集都是空集, 即 $\{\varnothing \mid \varnothing \}$, 或记作 $\{\mid \}$. 记此元素为 $0$, 则有 $0\le 0$.

第 $1$ 天中, 除 $0$ 以外, 还可以造出两个超现实数, 即 $\{0\mid \}$ 与 $\{\mid 0\}$. 注意 $\{0\mid 0\}$ 不是超现实数.

注 1.4. 全体超现实数过多, 因此并不构成集合. 然而在以下描述中, 我们仍然使用集合上的语言描述之; 例如说其构成序域, 其实是说其满足序域的若干条公理.

2序域结构

命题 2.1. 超现实数上的序关系 $\le$ 是拟序; 且对任意超现实数 $x,y$, $x\le y$ 和 $y\le x$ 中至少有一个成立.

因此, 可以商掉拟序给出的等价关系, 使其成为全序. 此后我们都将等价的超实数看作同一个.

定义 2.2 (加法). 设 $x=\{X_L\mid X_R\},y=\{Y_L\mid Y_R\}$ 是超实数. 定义 $x+y$ 如下.

•	$x+y$ 的左集是 $\{x_L+y\}\cup \{x+y_L\}$;
•	$x+y$ 的右集是 $\{x_R+y\}\cup \{x+y_R\}$.

其中 $x_L$ 取遍 $X_L$; $x_R,y_L,y_R$ 同理.

命题 2.3. 超现实数的加法给出了交换群结构, 其单位元为 $0=\{\mid \}$; 且超现实数 $x$ 的加法逆 $-x$ 可递归定义如下:

•	$-x$ 的左集是 $\{-x_R\}$, $x_R$ 取遍 $x$ 的右集;
•	$-x$ 的右集是 $\{-x_L\}$, $x_L$ 取遍 $x$ 的左集.

定义 2.4 (乘法). 设 $x=\{X_L\mid X_R\},y=\{Y_L\mid Y_R\}$ 是超实数. 定义 $x\cdot y$ 如下.

•	$x\cdot y$ 的左集是 $\{x_L\cdot y+x\cdot y_L-x_L\cdot y_L\}\cup \{x_R\cdot y+x\cdot y_R-x_R\cdot y_R\}$;
•	$x\cdot y$ 的右集是 $\{x_L\cdot y+x\cdot y_R-x_L\cdot y_R\}\cup \{x_R\cdot y+x\cdot y_L-x_R\cdot y_L\}$;

其中 $x_L$ 取遍 $X_L$; $x_R,y_L,y_R$ 同理.

命题 2.5. 若超实数 $x\ne 0$, 则 $x$ 有乘法逆; 设 $x>0$, 则 $x$ 的乘法逆可如下定义.

•	设 $y=x^{-1}$. $y$ 的左集为$$Y_L=\{0\}\cup \{x_L^{-1}(1+(x_L-x)y_R)\}\cup \{x_R^{-1}(1+(x_R-x)y_L)\}.$$其中 $x_L$ 取遍 $x$ 的左集中大于 $0$ 的元素; $x_R,y_L,y_R$ 分别取遍 $X_R,Y_L,Y_R$ 的元素.
•	$y$ 的右集为$$Y_R=\{x_L^{-1}(1+(x_L-x)y_L)\}\cup \{x_R^{-1}(1+(x_R-x)y_R)\}.$$其中 $x_L,x_R,y_L,y_R$ 同上.

注意到 $y$ 的定义中存在对 $y$ 本身的左右集的递归. 其确切含义为: 从 $y_0=\{0\mid \}$ 出发, 以上述定义式进行迭代得到一列 $\{y_n{\}}_{n\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}}$, 并将其左集或右集分别取并集得到的超现实数.

若 $x<0$, 则 $x^{-1}=-(-x{)}^{-1}$.

命题 2.6. 全体超现实数在上述加法和乘法定义下满足序域的公理, 其加法单位元是 $0$, 乘法单位元是 $1=\{0\mid \}$.

其并不是集合, 因此严格地说不构成序域.

命题 2.7. 超现实数是实闭域 (除了不是集合之外).

3例子

•	在第 $1$ 天造出的超现实数分别是 $1=\{0\mid \}$ 和 $-1=\{\mid 0\}$.
•	第 $2$ 天造出的超现实数是 $2=\{1\mid \},-2=\{\mid -1\}$, 以及 $\frac{1}{2}=\{0\mid 1\},-\frac{1}{2}=\{-1\mid 0\}$.
•	第 $3$ 天造出的超现实数包括 $\frac{1}{4}=\{0\mid \frac{1}{2}\},\frac{3}{4}=\{\frac{1}{2}\mid 1\}$, 及 $\frac{3}{2}$ 和 $3$, 还有它们的相反数.
•	依此类推, 在有限天可以造出所有分母为 $2$ 的幂的有理数.
•	在第 $\omega$ 天, 可以造出的数包括但不限于所有实数 (通过 Dedekind 分割); 以及如下的无穷大和无穷小数$$\begin{array}{rl}\omega & =\{0,1,2,\cdots \mid \},\\ ϵ& =\{0\mid 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\dots \}.\end{array}$$事实上 $\omega \cdot ϵ=1$, 即 $ϵ=\frac{1}{\omega }$.
•	此后, 分别在第 $\omega +1,\omega +2,\omega 2,{\omega }^2$ 天, 还有$$\begin{array}{rlrl}\omega +1& =\{\omega \mid \},& \omega -1& =\{0,1,2,\cdots \mid \omega \},\\ \omega +2& =\{\omega ,\omega +1\mid \},& \omega -2& =\{0,1,2,\cdots \mid \omega ,\omega -1\},\\ 2\omega & =\{\omega ,\omega +1,\omega +2,\cdots \mid \},& \frac{\omega }{2}& =\{0,1,2,\cdots \mid \omega ,\omega -1,\omega -2,\dots \},\\ {\omega }^2& =\{\omega ,2\omega ,3\omega ,\cdots \mid \},& \sqrt{\omega }& =\{0,1,2,\cdots \mid \omega ,\frac{\omega }{2},\frac{\omega }{4},\dots \}.\end{array}$$

4相关概念

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Nim 数

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超实数

术语翻译

超现实数 • 英文 surreal number • 德文 surreale Zahl • 法文 nombre surréel