全序集

全序集是任意两个元素都可以比较大小的偏序集. 其上的序关系也称为全序关系或全序.

全序集上可以定义序拓扑.

1定义

定义 1.1. 集合 $X$ 上的全序是一种二元关系 $\le$, 满足以下性质:

•	(自反性) 对任意 $x\in X$, 有 $x\le x$.
•	(传递性) 对任意 $x,y,z\in X$, 若 $x\le y\le z$, 则 $x\le z$.
•	(反对称性) 对任意 $x,y\in X$, 若 $x\le y$ 且 $y\le x$, 则 $x=y$.
•	(完全性) 对任意 $x,y\in X$, 有 $x\le y$ 或 $y\le x$.

2例子

•	所有实数依照大小关系构成全序集;
•	字母表可按照顺序排序, 如 $a<b<c$ 等等;
•	全序集在子集上的限制仍然是全序集;
•	字典序.

3相关概念

术语翻译

全序集 • 英文 totally ordered set, toset • 德文 total geordnete Menge • 法文 ensemble totalement ordonné • 拉丁文 copia totum ordinata • 古希腊文 ὅλως διατεταγμένον σύνολον

全序 • 英文 total order • 德文 Totalordnung; totale Ordnung • 法文 ordre total • 拉丁文 ordo totus • 古希腊文 ὅλη διάταξις

线性序 • 英文 linear order • 德文 lineare Ordnung • 法文 ordre linéaire • 拉丁文 ordo linearis • 古希腊文 γραμμικὴ διάταξις