微积分基本定理

微积分基本定理说明, 对单变量函数而言, 微分与积分互为逆运算.

1陈述与证明

微积分基本定理分为两部分, 分别称为第一、第二基本定理.

微积分第一基本定理

定理 1.1 (微积分第一基本定理). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 是连续函数. 则对 $x\in (a,b)$, 有$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$

证明. 对任意 $\delta >0$, 存在 $\epsilon >0$, 使得 $|h|<\epsilon$ 时 $|f(x+h)-f(x)|<\delta$, 从而$$|\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t-f(x)|<\delta .$$因此, 由极限的定义, $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t=f(x),$$而这等价于要证的等式.

$\square$

微积分第二基本定理

这一定理也称为 Newton–Leibniz 公式, 也是 Stokes 定理的一维情形.

定理 1.2 (微积分第二基本定理). 设 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ 具有连续导数 $F^{\prime }$. 则$${\int }_a^b{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a).$$

证明. 对 $F^{\prime }$ 使用定理 1.1, 我们得到$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F^{\prime }(x).$$换言之, 函数 $G(x)={\int }_a^x{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t-F(x)$ 的导数恒为 $0$, 故恒为常数, 这个常数是 $G(a)=-F(a)$. 因此, 定理中的积分等于 $G(b)+F(b)=F(b)-F(a)$.

$\square$

2推广

上述结论有以下几个推广, 它们减弱了对 $f$ 或 $F^{\prime }$ 的假设, 把连续减弱为可积.

定理 2.1 (第一基本定理, Lebesgue 版本). 设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为 Lebesgue 可积. 则只要 $x\in [a,b]$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点, 就有$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$特别地, 上式对几乎处处的 $x\in [a,b]$ 成立.

证明. 回顾 Lebesgue 点的定义: $x$ 是 $f$ 的 Lebesgue 点, 指的是$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{2r}{\int }_{x-r}^{x+r}|f(t)-f(x)|\mathrm{d}t=0.$$这显然推出$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r}{\int }_x^{x+r}|f(t)-f(x)|\mathrm{d}t=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r}{\int }_{x-r}^x|f(t)-f(x)|\mathrm{d}t=0,$$从而$$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r}{\int }_x^{x+r}f(t)\mathrm{d}t=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{r}{\int }_{x-r}^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x),$$也就是$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t=f(x).$$

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定理 2.2 (第二基本定理, Lebesgue 版本). 设函数 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ 绝对连续. 则 $F$ 几乎处处可导, 导数 Lebesgue 可积, 且$${\int }_a^b{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a).$$

证明. 由于绝对连续函数都有界变差, 故可对任意 $[c,d]\subseteq [a,b]$ 定义$$\mu ([c,d])=F(d)-F(c),$$给出 $[a,b]$ 上符号测度. 由绝对连续函数的定义容易发现 $\mu$ 关于 Lebesgue 测度 $m$ 绝对连续, 故由 Radon–Nikodym 定理, 存在 $f\in L^1(m)$ 使得 $\mu =fm$, 即 $\mathrm{d}\mu =f\mathrm{d}t$, 换言之对任一 $x\in [a,b]$ 都有$$F(x)-F(a)=\mu ([a,x])={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t.$$由定理 2.1, 这推出 $F^{\prime }$ 几乎处处等于 $f$, 特别地, $F$ 几乎处处可导, 且$$F(b)-F(a)={\int }_a^b{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

$\square$

定理 2.3 (第二基本定理, 另一个 Lebesgue 版本). 设函数 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ 处处可导, 且其导数 $F^{\prime }$ Lebesgue 可积. 则$${\int }_a^b{F}^{\prime }(t)\mathrm{d}t=F(b)-F(a).$$

证明. 只需证 $\ge$, 因为再对 $-F$ 用即得 $\le$. 任取 $\epsilon >0$. 由 Vitali–Carathéodory 定理, 存在下半连续、Lebesgue 可积函数 $g\ge F^{\prime }$ 使得$${\int }_a^b(g(t)-F^{\prime }(t))\mathrm{d}t<\epsilon .$$于是 $\epsilon$ 的任意性, 只需证更弱的命题$${\int }_a^{b}g(t)\mathrm{d}t\ge F(b)-F(a)-2\epsilon (b-a).$$为此考察关于 $x\in [a,b]$ 的命题$${\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t\ge F(x)-F(a)-2\epsilon (x-a).$$由于两边关于 $x$ 连续, 它成立的集合是闭集. 此外它对 $x=a$ 显然成立. 这样就只需证明, 只要它对 $x_0\in [a,b)$ 成立, 就存在 $\delta >0$ 使得它对 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 成立. 下证之.

首先由 $g$ 下半连续, 存在 $\delta >0$ 使得当 $t\in (x_0,x_0+\delta )$ 时 $g(t)>g(x_0)-\epsilon$. 其次由导数的定义, 缩小 $\delta$ 可设当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时 $|F(x)-F(x_0)-F^{\prime }(x_0)(x-x_0)|<\epsilon (x-x_0)$. 于是对 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 便有$${\int }_{x_0}^{x}g(t)\mathrm{d}t\ge g(x_0)(x-x_0)-\epsilon (x-x_0)\ge F^{\prime }(x_0)(x-x_0)-\epsilon (x-x_0)\ge F(x)-F(x_0)-2\epsilon (x-x_0).$$所以只要命题对 $x_0$ 成立, 把它和上式相加即得命题对 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 成立. 定理得证.

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3相关概念

•

Stokes 公式

术语翻译

微积分基本定理 • 英文 fundamental theorem of calculus • 德文 Fundamentalsatz der Analysis (m) • 法文 théorème fondamental de l’analyse (m) • 拉丁文 theorema fundamentale analyseos (n) • 古希腊文 θεμελιῶδες θεώρημα ἀναλύσεως (n)