用户: Jin1/高阶范畴论与紧性

Mike Shulman, *Higher Compactness*

翻译过程有改动.

原文链接: [Higher Compactness](https://golem.ph.utexas.edu/category/2013/07/higher_compactness.html)

高阶范畴论学家最喜欢范畴化. 这里所谓的范畴化, 是拿一个熟悉的 $1$-范畴, 把它嵌入高阶范畴, 然后试着推广熟知的理论.

我们从拓扑空间的范畴开始. 拓扑空间怎样范畴化? 首先, 我们把它替换为位象. 位象是一种偏序集, 有有限交, 任意并, 且有限交关于任意并有分配律. 一个位象就仿佛是一个拓扑空间的开集的偏序集. 大部分拓扑空间都可以无损替换为位象, 所以这一步我们没有损失太多东西.

重要的是, 偏序集等同于 $(0,1)$-范畴, 于是我们可以简单地将这个概念范畴化.

位象的范畴化是 Grothendieck 意象. 具体地, 它是一个可表现范畴, 具有有限极限, 任意余极限, 且有限极限关于任意余极限有某种分配律. 固然, 极限和余极限分别是交和并的范畴化.

实际上这个定义可以一路推广到 $(n,1)$-范畴, 并且我们有嵌入$$\mathsf{Locale}=(0,1)\mathsf{Topos}\hookrightarrow (1,1)\text{-}\mathsf{topos}\hookrightarrow (2,1)\text{-}\mathsf{Topos}\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow (\infty ,1)\text{-}\mathsf{Topos}.$$嵌入的方式是这样的: 一个位象本身虽然不是意象, 但其上的层范畴是意象. 类似地, 对于 $n<m$, 一个 $n$-意象之上的 $m$-层范畴是 $m$-意象. ($m$-层即取值于 $(m-1)$-群胚的层, 例如 $1$-层是取值于 $0$-群胚的层, $0$-群胚是集合.)

我们今天探讨的问题是, 紧性如何范畴化.

一个拓扑空间 $X$ 的紧性可以用它的开集的偏序集 $\mathcal{O}(X)$ 描述, 即若一族元素之并为 ${\bigcup }_i{U}_i=\top$ ($\top$ 表示最大元, 即全集), 则存在有限多个元素满足此性质.

等价的叙述是, 若 $\mathcal{O}(X)$ 一族元素的有向并等于 $\top$, 则其中必有某个元素等于 $\top$.

记住这一点, 那么紧性还可以叙述为映射 $X\to 1$ 的性质, 其中 $1$ 为终位象, 即一个点对应的位象, $\mathcal{O}(1)=\{\top ,\perp \}$.

我们知道一个位象态射 $f:X\to Y$ 对应一对伴随 $f^{\ast }⊣f_{\ast }$, 其中 $f^{\ast }:\mathcal{O}(Y)\to \mathcal{O}(X)$ 是取开集的原像. 由于 $f^{\ast }$ 保持余极限, 存在右伴随 $f_{\ast }$.

对于态射 $f:X\to 1$, 由 $f^{\ast }⊣f_{\ast }$ 可以计算出 $f_{\ast }:\mathcal{O}(X)\to \mathcal{O}(1)$ 将 $\top$ 映射到 $\top$, 其它元素映射到 $\perp$.

那么, $X$ 的紧性就可以表述为 $f_{\ast }$ 保持有向并.

这件事情提示我们紧性是一个映射的性质. 于是一般地我们定义一个满足 $f_{\ast }$ 保持有向并的位象态射 $f:X\to Y$ 为紧合映射.

现在设 $X$ 为 $(n,1)$-意象 (刚才讨论的是 $n=0$ 的情形). 为了提醒我们 $X$ 背后是一个 $(n,1)$-范畴, 以 ${\mathcal{O}}_n(X)$ 记之. 那么 $(n,1)$-意象态射 $f:X\to Y$ 对应 ${\mathcal{O}}_n(X)$ 与 ${\mathcal{O}}_n(Y)$ 之间的一对伴随 $f^{\ast }⊣f_{\ast }$.

现在我们就有了显然的范畴化: 若 $f_{\ast }$ 保持滤余极限, 则称 $f$ 为紧合映射. 考虑态射 $X\to 1$, 此时 $1$ 背后的那个范畴 ${\mathcal{O}}_n(1)$ 是全体 $(n-1)$-群胚的范畴. ($n=0$ 时也是这样, 注意到 $(-1)$-群胚是空或一个点.) 称 $X$ 紧就是指 $f_{\ast }:{\mathcal{O}}_n(X)\to {\mathcal{O}}_n(1)$ 保持滤余极限.

顺带一提, $f_{\ast }:{\mathcal{O}}_n(X)\to {\mathcal{O}}_n(1)$ 又可以写作 $\mathrm{Hom}(1,-)$, 其中 $1$ 是取值为一个点的常值层, 是层范畴的终对象. 所以 $f_{\ast }$ 其实就是全局截面函子.

有趣的事情是, 若空间 $X$ 在位象 ($0$-意象) 的意义下是紧的, 它未必在 $n$-意象的意义下是紧的. 考虑如下反例, 取自 Johnstone 的 Sketches of an Elephant C3.4.1. 设 $X$ 为 $[0,1]+[0,1]$ 将两份开区间 $(0,1)$ 粘起来得到的空间, $X_n$ 是 $[0,1]+[0,1]$ 将两份开区间 $(1/2^n,1-1/2^n)$ 粘起来得到的空间. 那么商映射 $X_n\to X$ 是局部同胚, 从而 $X_n$ 可视为 $X$ 上的集合层; 进一步, 有一串映射 $X_1\to X_2\to \cdots$, 其在 $\text{Sh}(X)$ 中的余极限是 $X$ 本身, 即 $\text{Sh}(X)$ 的终对象. 注意到每个 $X_n$ 作为 $X$ 上的层都不存在全局截面, 但是 $\text{Sh}(X)$ 的终对象存在全局截面. 这说明全局截面函子不保持滤余极限.

作为 $1$-意象的紧性被称为强紧性. 我们发现 $n$-紧性 ($0\le n\le \infty$) 是一个无穷上升的阶梯.

然而, 若 $X$ 是 Hausdorff 空间, 那么 $0$-紧性就自动推出所有的 $n$-紧性. 所以这个阶梯只在病态的空间上有趣.