可表现范畴

可表现范畴是一类范畴, 它有任意余极限, 且被一小族小对象沿余极限生成.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 对正则基数 $\kappa$, 称 $\mathcal{C}$ 为 $\mathbf{\kappa }$-可表现, 指它为 $\kappa$-可达, 且有任意余极限. 称 $\mathcal{C}$ 为可表现范畴, 指存在正则基数 $\kappa$, 使得 $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可表现范畴.

$\kappa$-可表现范畴沿保余极限、保 $\kappa$-紧对象的函子构成的范畴记作 ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}$, 沿保极限、保 $\kappa$-滤余极限的函子构成的范畴则记作 ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{R}}$. 可表现范畴沿保余极限的函子构成的范畴记作 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$, 沿保极限的可达函子构成的范畴记作 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{R}}$. 这里 $\mathrm{L}$、$\mathrm{R}$ 是左、右伴随之意: 由伴随函子定理, 取左、右伴随给出范畴等价 ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{R}}\cong ({\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}{)}^{\mathrm{op}}$, ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{R}}\cong ({\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}{)}^{\mathrm{op}}$.

2例子

可达范畴的例子中很多也是可表现范畴.

•	集合范畴、群范畴、环范畴、固定一个环上的模范畴, 都是 ${\aleph }_0$-可表现范畴.

•	紧 Hausdorff 空间范畴的反范畴, 即交换 ${\mathrm{C}}^{\ast }$ 代数范畴, 是 ${\aleph }_1$-可表现范畴. 整个 ${\mathrm{C}}^{\ast }$ 代数范畴也是 ${\aleph }_1$-可表现范畴.

3性质

设 $\kappa$ 是正则基数.

定理 3.1. 范畴 $\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可表现范畴, 当且仅当 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 是小范畴、有 $\kappa$-小余极限, 而且 $\mathcal{C}={\mathsf{Ind}}_{\kappa }({\mathcal{C}}^{\kappa })$. 事实上, 我们有自然的伴随函子$${\mathsf{Ind}}_{\kappa }:{\mathsf{Cat}}_{\kappa \text{-}\mathrm{colim}}\rightleftarrows {\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}:(-{)}^{\kappa }$$其中 ${\mathsf{Cat}}_{\kappa \text{-}\mathrm{colim}}$ 指有 $\kappa$-小余极限的小范畴沿保 $\kappa$-小余极限的函子构成的范畴. 这里 $(-{)}^{\kappa }$ 是满忠实函子, 把 ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}$ 等价到 ${\mathsf{Cat}}_{\kappa \text{-}\mathrm{colim}}$ 中幂等完备范畴构成的满子范畴.

注 3.2. 由于收缩是可数余极限, 故当 $\kappa$ 不可数时, ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}\cong {\mathsf{Cat}}_{\kappa \text{-}\mathrm{colim}}$.

推论 3.3. ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}$ 是 $\kappa$-可表现范畴, $\mathcal{C}\in {\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}$ 是 $\kappa$-紧对象当且仅当 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 由少于 $\kappa$ 个对象沿 $\kappa$-小余极限和收缩生成.

定理 3.4. ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{L}}$ 和 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$ 都有任意极限、余极限, 其中极限可作为范畴直接取, 余极限是先换到 ${\mathsf{Pr}}_{\kappa }^{\mathrm{R}}$ 和 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{R}}$ 中, 再作为范畴直接取极限.

定理 3.5. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 以下几条等价:

1.	$\mathcal{C}$ 是 $\kappa$-可表现范畴.
2.	米田函子在 ${\mathcal{C}}^{\kappa }$ 上的限制 $y^{\kappa }:\mathcal{C}\to \mathsf{P}({\mathcal{C}}^{\kappa })$ 满忠实, 且有左伴随.
3.	存在小范畴 $\mathcal{D}$ 及满忠实函子 $G:\mathcal{C}\to \mathsf{P}(\mathcal{D})$, 保持 $\kappa$-滤余极限且有左伴随.

推论 3.6. 可表现范畴中有任意极限.

推论 3.7. 设 $\lambda >\kappa$ 是正则基数. 则 $\kappa$-可表现范畴都是 $\lambda$-可表现范畴.

定理 3.8. 设 $\mathcal{C}$ 是 (未必小的) 偏序集, 则 $\mathcal{C}$ 是可表现范畴当且仅当:

1.	$\mathcal{C}$ 是小范畴.
2.	$\mathcal{C}$ 有任意上确界.

反过来, 小的可表现范畴是偏序集.

注 3.9. 偏序集的 $\kappa$-可表现性陈述比较繁琐, 具体参见可达范畴条目中的相应定理.

4可表现 $(\infty ,1)$-范畴

术语翻译

可表现范畴 • 英文 presentable category