类域论

类域论是代数数论中一论题. 在现代意义下, 它的研究对象为局部域或整体域的绝对 Galois 群的 Abel 化.

1历史

2主定理

局部类域论

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定理 2.1 (互反映射). 给定局部域 $K$, 对其所有有限 Galois 扩张 $L$, 存在相容的同构, 称为互反映射: $$K^{\times }/N_{L/K}{L}^{\times }\to \mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}.$$其中 $N$ 为范数映射. 相容性指对域扩张 $L^{\prime }\supset L\supset K$, 如下的图表交换: 其中两个横箭头为互反映射, 竖箭头为投影.

定理 2.2 (存在性定理). $K^{\times }$ 中形如 $N_{L/K}{L}^{\times }$ 的子群正是 $K^{\times }$ 的有限指数开子群.

注 2.3. 若 $K$ 是特征为 0 的局部域, 则 $K^{\times n}$ 是开集, 因此有限指数子群为开子群. 对正特征的局部域则并非如此. 有限指数开子群在 $1$ 处适合邻域基的条件, 由此得到的拓扑称为范数拓扑, 其严格粗糙于 $K^{\times }$ 在赋值下的拓扑.

以上二定理立即推出下面的定理, 它给出了 Galois 群的 Abel 化的信息:

定理 2.4. 给定局部域 $K$, 存在同构 (也称为互反映射) : $$\widehat{K^{\times }}\to \mathrm{Gal}(\bar{K}/K{)}^{\text{ab}}，$$前者表示 $K^{\times }$ 在范数拓扑下的完备化.

整体类域论

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定理 2.5 (互反映射). 给定整体域 $K$, 对其所有有限 Galois 扩张 $L$, 存在相容的同构, 称为互反映射: $$C_K/N_{L/K}{C}_L\to \mathrm{Gal}(L/K{)}^{\text{ab}}.$$其中 $N$ 为范数映射, $C$ 代表理元类群. 相容性指对域扩张 $L^{\prime }\supset L\supset K$, 如下的图表交换: 其中两个横箭头为互反映射, 竖箭头为投影.

定理 2.6 (存在性定理). $C_K$ 中形如 $N_{L/K}{C}_L$ 的子群正是 $C_K$ 的有限指数开子群.

注 2.7. 即使对数域 $K$, $C_K$ 也存在有限指数的子群不是开子群.

以上二定理立即推出下面的定理, 它给出 Galois 群的 Abel 化的信息:

定理 2.8. 给定整体域 $K$, 存在同构 (也称为互反映射) : $$\widehat{C_K}\to \mathrm{Gal}(\bar{K}/K{)}^{\text{ab}}，$$前者表示 $C_K$ 在范数拓扑下的完备化.

3应用

•	类群
•	Kronecker–Weber 定理
•	Kronecker 青春之梦

4相关理论

•	Langlands 纲领
•	Lubin–Tate 理论
•	Iwasawa 理论
•	高维类域论
•	几何类域论

术语翻译

类域论 • 英文 class field theory • 德文 Klassenkörpertheorie • 法文 théorie des corps de classes