置换群

$n$ 元置换群 (也称为对称群) ${\mathfrak{S}}_n$ 是所有 $n$ 元置换构成的群, 其中 $n$ 是非负整数. 换言之, ${\mathfrak{S}}_n$ 是集合 $\{1,\dots ,n\}$ 到自身的所有双射关于映射复合构成的群.

${\mathfrak{S}}_n$ 的元素常常用 $2\times n$ 矩阵来表示. 例如, ${\mathfrak{S}}_5$ 的元素$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 5& 1& 3\end{array}\right)$$表示把 $1$ 映到 $2$, 把 $2$ 映到 $4$, …, 把 $5$ 映到 $3$ 的置换. 该元素也可以记为 $(124)(35)$, 即两个轮换 (定义 1.4) 的积.

1定义

定义 1.1 (置换). 集合 $X$ 上的置换是指 $X$ 到 $X$ 的双射.

定义 1.2 (置换群). 集合 $X$ 上的置换群 ${\mathfrak{S}}_X$ 是 $X$ 上所有置换构成的群, 其乘法定义为 $fg=f\circ g$.

特别地, 当 $X=\{1,\dots ,n\}$ 时, 记 ${\mathfrak{S}}_X={\mathfrak{S}}_n$, 它是 $n!$ 阶有限群.

注 1.3. 等价地说, 置换群 ${\mathfrak{S}}_X$ 是集合范畴中的自同构群 ${\mathrm{Aut}}_{\mathsf{Set}}(X)$.

定义 1.4 (轮换). 在集合 $X$ 中, 关于不同元素 $x_1,x_2,\dots ,x_k$ 的轮换是指如下定义的置换: $$(x_1{x}_2\cdots x_k)=\{\begin{array}{l}{x}_i\mapsto x_{i+1}(i=1,\dots ,k-1),\\ x_k\mapsto x_1,\\ \text{其余元素不变}.\end{array}$$

例如, ${\mathfrak{S}}_5$ 中有轮换$$(245)=\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 4& 3& 5& 2\end{array}\right).$$

命题 1.5. ${\mathfrak{S}}_n$ 的所有元素都能写成若干个无公共元素的轮换之积.

$\square$

2例子

•	${\mathfrak{S}}_0$ 和 ${\mathfrak{S}}_1$ 都是平凡群.
•	${\mathfrak{S}}_2=\{\mathrm{id},(12)\}$ 同构于循环群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.
•	${\mathfrak{S}}_3=\{\mathrm{id},(12),(13),(23),(123),(132)\}$ 是最小的非 Abel 群.

3性质

(…)

术语翻译

置换群 • 英文 symmetric group • 德文 symmetrische Gruppe (f) • 法文 groupe symétrique (m)